minhbeo12

Ta có n⁵ + n⁴ + 1 = (n² + n + 1)(n³ - n + 1) = p^k

Gọi (n² + n + 1, n³ - n + 1) = d

Ta có d/(n² + n + 1) => d/(n³ - 1)

Lại có d/ (n³ - n + 1) => d/(n - 2).   n² + n + 1 = n² - 4+ n - 2 + 7 => d/7. Do đó d = 1 hoặc 7

TH1: d = 7 => n = 7t + 2.  Đặt n² + n + 1 = 7^a

                                                n³ - n + 1 = 7^b

Thay vào ta được 7t² + 5t + 1 = 7^a-1  => 7/(t - 4)

                             49t³ + 42t² + 11t + 1 = 7^b-1 => 7/(t - 5)    (MT)

Do đó a hoặc  b phải bằng 1 

TH2: d = 1 thì đơn giản rồi

Ta có: ab - cd = (a + b - c - d)(a + b + c + d)    (1)

Giả sử a + b + c + d là số nguyên tố

(1) => (a + b + c + d)/(ab - cd) => (a + b + c + d)/a(a + b + c + d) - (ab - cd)

                                                => (a + b + c + d)/(a + c)(a + d)

Do đó a + b + c + d là ước của a + c hoặc b + d  (vô lý)

Ta có ĐPCM

Giả sử cả 3 số a, b, c đều không chia hết cho 3

Ta có a³ chia 9 dư 1 hoặc -1 

=> a³ + b³ + c³ không chia hết cho 9

f(x + f(y)) = f(x + xy) + yf(1 - x)      (1)

Kí hiệu P(u, v) là cách thay tương ứng giá trị x, y vào (1)

TH1: f(1) = 0

P(0, y): f(f(y)) = f(0)

P(0, 0): f(f(0)) = f(0) => f(a) = a (a = f(0))

P(1, a): f(1 + a) = f(1 + a) + a² => a = 0 => f(0) = 0

Do đó f(f(y)) =0

P(1, y): f(1 + f(y)) = f(1 + y)   (2)

Trong 2 thay y bởi f(y) => 0 = f(1) = f(1 + f(y)) => f(y + 1) = 0  

TH2: f(1) # 0:

P(0, y): f(f(y)) = f(0) + yf(1) => f là đơn ánh

P(x, 0): f(x + f(0)) = f(x) => f(0) = 0

P(1, y): f(1 + f(y)) = f(1 + y) => f(y) = y

Vậy f(x) = 0 hoặc f(x) = x

$\sqrt{2()}$