Shaddoll

Chỗ dễ thấy S là trung điểm BC ở #3 là sao ạ

Mình viết nhầm đề, phải là $"DB=BC"$

Cắn bút bài hình ngày 2

Đặt $f(0)=a$
$P(x,y): f(x^2-f(y)^2)=xf(x)-y^2$
$P(-x,y)-P(x,y) \Rightarrow f(x)=-f(-x),\forall x \neq 0$

$P(0,0): f(-a^2)=0 \Rightarrow f(a^2)=0$

$P(x,-a^2): f(x^2)=xf(x)-a^4$

$P(1,-a^2):-a^4=0 \Leftrightarrow a=0$

Kết hợp lại ta có $f(x^2)=xf(x)$ và $f(x)=-f(-x),\forall x$

$P(0,y): f(-f(y)^2)=-y^2$

$P(f(x),x): f(x)f(f(x))=x^2$

$P(f(x),y): f(f(x)^2-f(y)^2)=x^2-y^2$ 

Do đó $f$ toàn ánh. 

$P(x,y): f(x^2-f(y)^2)=f(x^2)+f(-f(y)^2)$

Mà $x^2$ và $f(y)^2$ toàn ánh trên $/mathBB{R^+}$ nên 

$f(x-y)=f(x)+f(-y)=f(x)-f(y),\forall x,y \geq 0 (1)$

Từ $(1)$ thay $x \rightarrow x+y$ kết hợp $f$ lẻ ta có

$f(x+y)=f(x)+f(y),\forall x,y$

Từ đây ta tính $f((x+1)^2 )$ theo 2 cách.

$f((x+1)^2)=(x+1)f(x+1)=(x+1)f(x)+(x+1)f(1)$

$f((x+1)^2)=f(x^2)+f(2x)+f(1)=xf(x)+2f(x)+f(1)$

Do đó $f(x)=f(1)x$. Thay ngược lại có $f(1)=\pm 1$. 

Thử lại cả 2 hàm thoả mãn. Kết luận...

Dòng f(x−y)=f(x)+f(−y)=f(x)−f(y),∀x,y≥0(1) là sao vậy bạn, làm sao để suy ra được