Không mất tính tổng quát gs $a\geq b\geq c$
Nếu $c\leq \frac{1}{3}$ thì$\frac{1}{a^{2}}$$\geq 9= (a+b+c)^{2}\geq a^{2}+b^{2}+c^{2}$
Nếu $c\geq \frac{1}{3}\Rightarrow a\leq \frac{7}{3}$
Ta chứng minh bdt sau với $\frac{1}{3}\leq a\leq \frac{7}{3}$ (1)
$\frac{1}{a^{2}}-a^{2}\geq -4a+4 \leftrightarrow a^{4}-4a^{3}+4a^{2}-1\leq 0 \leftrightarrow$
$\Leftrightarrow (a-1)^{2}(a^{2}-2a-1)\leq 0$
Ta có:$a^{2}-2a-1=(a-1)^{2}-2$
Mà $\frac{1}{3}\leq a\leq \frac{7}{3}$ nên $\left | a-1 \right |\leq \frac{4}{3}\Rightarrow (a-1)^{2}-2< 0$
Vậy (1) đúng
Thiết lập các bất đằng thức tương tự (1) với a,b,c rồi cộng lại có dpcm.