ngocanh69

Giả sử $s=2^a5^b m$ với $a,b\geq 0$ và $\gcd(m,10)=1$.

Theo định lý Euler \begin{align*}
10^{\phi(m)}& \equiv 1 \mod m\\
10^{2\phi(m)}& \equiv 1 \mod m\\
\ldots&\\
10^{m\phi(m)}& \equiv 1 \mod m
\end{align*}
Đặt $T=10^{\phi(m)}+10^{2\phi(m)}+\cdots+10^{m\phi(m)} $ thì $T\equiv 0\mod m$ và $T$ có tổng các chữ số bằng $m$ (vì nó chứa các chỉ chứa các chữ số $0$ và $m$ chữ số $1$).

Gọi $n=\overline{TT\ldots T0\ldots0}$ gồm $2^a5^b$ số $T$ viết cạnh nhau, và viết thêm $\max(a,b)$ chữ số $0$ ở cuối. 

Rõ ràng $n$ có tổng các chữ số bằng $s=2^a5^bm$ và chia hết cho $s \mid n$.
------------------------------
Lấy ví dụ s=12 thì n=48. Từ đó ta đề xuất bài toán khó hơn.
Cho số nguyên dương $s$, tìm số nguyên dương $n$ nhỏ nhất có tổng các chữ số bằng $s$ và $s\mid n$.  

 \displaystyle{A=\{x^2\},x \in \{1,2,..,\frac{p-1}{2}\},B=\{-1-y^2},y \in \{1,2,..,\frac{p-1}{2}\}}\displaystyle{A=\{x^2\},x \in \{1,2,..,\frac{p-1}{2}\},B=\{-1-y^2},y \in \{1,2,..,\frac{p-1}{2}\}}

 $\frac{x^{3}+x}{xy-1}\in\mathbb{Z}\Leftrightarrow \frac{x^{3}+x}{xy-1}+x\in\mathbb{Z}\Leftrightarrow\frac{x^{3}+x+x^{2 }y-x}{xy-1}\in\mathbb{Z}\Leftrightarrow\frac{x^{2}(x+y)}{xy-1}\in\mathbb{Z}\Leftrightarrow\frac{x+y}{xy-1}\in\mathbb{Z} $,
$\Rightarrow\exists z\in\mathbb{Z} :z=\frac{x+y}{xy-1}\Leftrightarrow x+y+z=xyz $  

có ai làm câu 4 giảng em với ạ