Nguyen Danh

$BY,CZ$ là các đường cao, $M$ là trung điểm $BC$. $A'$ đối xứng $A$ qua $O$.
Lấy $R$ đối xứng $A$ qua $D$, $T$ đối xứng $H$ qua $AB$

Ta có $HR \perp AH \Rightarrow RT \perp AT \Rightarrow RT$ đi qua $A'$.
Từ đó $OD || TA' ||ZM$. Tương tự ta cũng có $OE || YM$
Đường thẳng qua $D$ vuông góc $AB$, cắt $AO$ tại $P$.
Ta có $\angle AED =\angle ACB =\angle AA'B=\angle APD \Rightarrow ADPE$ nội tiếp
$\angle PDE=\angle PAE = \angle A'BC = \angle HCB = \frac{1}{2} \angle BMZ = \frac{1}{2} \angle ODE$
$\Rightarrow PD$ là phân giác góc $ODE$. Tương tự $PE$ là phân giác góc $OED \Rightarrow$ ĐPCM

Khai đao bài số 10

(Theo ngu ý của mình thì công thức đã cho phải xác định từ $n=1$ trở đi, nếu không thì $x_3$ xác định kiểu gì? )

Từ đề bài ta có: $nx_{n+2}=(n-1)x_{n+1}+x_n\quad(*)$
Giả sử tồn tại $n$ để $x_{n+2}=x_{n+1}$ thì từ $(*)$ suy ra $x_{n+2}=x_{n+1}=x_{n}=...=x_2=x_1\Rightarrow $ vô lý!
Do đó dãy $\{x_n\}$ "không dừng".
Và từ $(*)$ ta có thể viết:
$\quad\dfrac{x_{n+2}-x_{n+1}}{x_{n+1}-x_{n}}=\dfrac{(-1)}{n}$
$\Rightarrow \dfrac{x_{n+1}-x_{n}}{x_{n}-x_{n-1}}=\dfrac{(-1)}{n-1}$
$\cdots$
$\Rightarrow x_{n+2}-x_{n+1}=-\dfrac{(-1)^n}{n!}$
$\Rightarrow x_{n+1}-x_{n}=-\dfrac{(-1)^{n-1}}{(n-1)!}$
$\cdots$
$\Rightarrow x_{2}-x_{1}=-\dfrac{(-1)^{0}}{(0)!}$
$\Rightarrow x_{n+2}=x_1-\sum_{k=0}^n \dfrac{(-1)^k}{k!}$

Do đó $\lim_{n\to\infty}x_n=\lim_{n\to\infty}x_{n+2}=x_1-\lim_{n\to\infty}\sum_{k=0}^n\dfrac{(-1)^k}{k!}=2012-e^{-1}$

Giải thử bài số 11

Ta có: $x_{n+1}^2=x_n^2+x_{n}^{-2}+2>x_n^2+2$
Suy ra:
$x_n^2\;\;>x_{n-1}^2+2$
$x_{n-1}^2>x_{n-2}^2+2$
$\cdots$
$x_1^2>x_0^2+2$
___________________
$\Rightarrow x_n^2>x_0^2+2n=25+2n\quad(**)$
Do đó: $x_{1000}^2>25+2000\Rightarrow x_{1000}>45$

Mặt khác từ $(**)$, ta cũng có:
$x_n^{-2}<\dfrac{1}{25+2n}<\dfrac{1}{2}\big(\log(25+2n)-\log(23+2n)\big)$

Spoiler

Chứng minh cái này không khó, nếu hỏi nó từ đâu ra thì lấy tích phân hàm $f(n)=\dfrac{1}{23+2n}$ trên đoạn $[0,1]$ khắc rõ

Và thế là ta có:
$x_{n+1}^2=x_n^2+x_{n}^{-2}+2<x_n^2+2+\dfrac{1}{2}\log(25+2n)-\dfrac{1}{2}\log(23+2n)$
Suy ra:
$x_{n}^2<x_{n-1}^2+2+\dfrac{1}{2}\log(23+2n)-\dfrac{1}{2}\log(21+2n)$
$\cdots$
$x_1^2<x_0^2+2+\dfrac{1}{2}\log(25)-\dfrac{1}{2}\log(23)$
____________________________________________________
$\Rightarrow x_n^2<25+2n+\dfrac{1}{2}\log\left(\dfrac{23+2n}{23}\right)$

$\Rightarrow x_{1000}^2<25+2000+\dfrac{1}{2}\log\left(\dfrac{2023}{23}\right)<2029.5\Rightarrow x_{1000}<45.1$