Nguyen Van Hoang noob

 

Mọi người cho em xin phép hỏi bài toán sau :

 

1. (Bất đẳng thức) Cho hai số không âm a,b thỏa mãn $$(a+b)^3+2ab\leq 10$$

Tìm Min, Max của biểu thức $$P=\frac{3}{1+2a}+\frac{3}{1+2b}+21ab$$

 

Ý kiến : Theo em chắc hướng tới dồn biến. Mà cái giá thiết đề cho khá quen, mong ai biết thì chỉ cho em xin vài cách xử lý với ạ

 

Ai coi giúp em với ạ 

 

cho em hỏi là sao suy ra được  $\dpi{300} m_3$   = 1 ạ 

 

Tính chất chia hết cơ bản thôi ạ: nếu $ab \vdots c$ Mà a,c nguyên tố cùng nhau thì $b \vdots c$ . Bạn áp dụng liên tục sẽ suy ra $1 \vdots m_3 $ 

Suy ra $m_3=1$

Cho các số nguyên dương m, n thỏa mãn $m^3 + n^3 +m \vdots mn$. Chứng minh rằng m là lập phương của một số nguyên dương.

Hình như trong link giải sai nhỉ, cho mình xin phép giải lại nhé.

Đặt $d = (m,n) \Rightarrow m=dm_1 ; n =d n_1 ; (m_1,n_1)=1$

Thay vào biểu thức ta được:

$d^3m_1^3 + d^3 n_1^3 + dm_1 \vdots d^2 m_1n_1 \Rightarrow d^2 (m_1^3+n_1^3)+m_1 \vdots dm_1n_1 \\\Rightarrow m_1 \vdots d \Rightarrow m_1=dm_2 \\ \Rightarrow d^4 m_2^3 + dn_1^3 + m_2 \vdots dm_2n_1 \Rightarrow m_2 \vdots d \Rightarrow m_2 = d m_3 \\ \Rightarrow d^6m_3^3 + n_1^3 +m_3 \vdots dm_3n_1 \Rightarrow n_1^3 \vdots m_3$

Do $(m_1,n_1)=1 ; m_1 = d^2 m_3 \Rightarrow (m_3,n_1)=1 \Rightarrow m_3=1 \\ \Rightarrow m = d^3$

cho đường tròn tâm O bán kính 15cm ,điểm M cách O 9 cm.

Dựng dây AB đi qua M có độ dài 26 cm

Mình không biết trình bày toán dựng hình nhưng có thể nói sơ sơ cho bạn hiểu nhé, mình làm như kiểu tư duy thôi.

Kẻ đường kính XY đi qua M (MX < MY) ; 

=> MX = OX - OM = 15 - 9 = 6 ; MY = OY + OM = 15 + 9 =24

Áp dụng phương tích vào điểm M với (O) ta có :

MX . MY = MA . MB = 24.6=144

Mà MA + MB = AB = 26 (giả sử MA <= MB)

=> MA = 8; MB = 18

Giờ ta chỉ cần tìm vị trí điểm B (hoặc A ) thì sẽ tạo được dây AB thỏa mãn.

Vẽ đường tròn (M;MO=9), rồi lấy đường kính OT , ta được OT = 18.

Vẽ đường tròn (M;MT=18) cắt (O) tại B với MB = 18 (thỏa mãn).

Kéo dài BM cắt (O) tại A ta được dây AB thỏa mãn

Sẽ có 2 nghiệm hình cho bài này

Tìm min của $2019(x^2 + y^2) - 2018(2xy + 1)$

$A=2018(x^2+y^2-2xy)+x^2+y^2-2018=2018(x-y)^2+x^2+y^2-2018 \geq -2018$

Dấu "=" xảy ra $\Leftrightarrow x=y=0$