bebu7878

Cho số nguyên $n$ có tính chất $3n$ có thể biểu diễn dưới dạng tổng $x^2 + 2y^2$ với $x, y$ là các số nguyên. CMR $n$ cũng biểu diễn được dưới dạng $a^2 + 2b^2$ với a, b là các số nguyên.

Giả sử $n$ là số nguyên dương sao cho $3^n + 7^n$ chia hết cho $11$, chứng minh rằng $2021^n + 2022^n$ chia hết cho $11$.

Cho các số thực $a, b, c$ thỏa mãn: $\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} = 4$, $\frac{1}{a + b} + \frac{1}{b + c} + \frac{1}{c + a} = 1$ và $\frac{a}{b + c} + \frac{b}{c + a} + \frac{c}{a + b} = 4$, tính giá trị của biểu thức $P = abc$.

Cho $\triangle ABC$ nhọn $(AB < AC)$ có đường cao $AD$. Đường tròn tâm $I$ đường kính $AD$ cắt $AB, AC$ lần lượt tại $F, E$, đường thẳng $EF$ cắt $BC$ tại $S$, tia $SI$ cắt $AB, AC$ lần lượt tại $M, N$. 

a) CMR $\frac{SB}{SC} = (\frac{DB}{CD})^2$.

b) CMR $I$ là trung điểm $MN$.

Tìm các số nguyên $x,y$ sao cho $x^2 - 2x = 27y^3$