oibanoi

Với những giá trị nào của $m$ thì $\forall x \in \left ( 0; \frac{\pi }{2} \right )$ ta luôn có $m\sin^{3} x+2m\cos^{2}x\leq 3m\sin x\cos^{2}x$.

Xét đường cong $y =mx^{3}-nx^{2}-mx+n\; (C)$. Tìm tất cả cặp số $(m,n)$ sao cho trong các giao điểm của $(C)$ với trục hoành có hai giao điểm cách nhau 1995 đơn vị và khoảng cách từ tâm đối xứng (điểm uốn) của $(C)$ đến trục hoành là 2000 đơn vị.

Cho tứ diện $ABCD$, trong $\Delta BCD$ lấy điểm $M$. Từ $M$ kẻ các đường thẳng song song với các cạnh $AB, AC, AD$ cắt các mặt $\left ( ACD \right ),\left ( ABD \right ),\left ( ABC \right )$ lần lượt tại $A_{1},B_{1},C_{1}$. Tìm vị trí điểm $M$ để thể tích tứ diện $MA_{1}B_{1}C_{1}$ lớn nhất.

Nếu như đặc biệt hóa bài toán với tứ diện $ABCD$ vuông thì $MA_{1}B_{1}C_{1}$ vuông nốt, lại chứng minh được $AB\cdot AC\cdot AD \geqslant 27MA_{1}\cdot MB_{1}\cdot MC_{1}$, nhưng mà mình chưa chứng minh được trường hợp tổng quát.

Gọi A, B, C là ba góc của tam giác ABC.

1) Chứng minh rằng: $\left ( 1+\tan\frac{A}{4} \right )\left ( 1+\tan\frac{B}{4} \right )\left ( 1+\tan\frac{C}{4} \right )=2\left ( 1+\tan\frac{A}{4}\tan\frac{B}{4}\tan\frac{C}{4} \right )$

2) Tìm GTLN của biểu thức $P = \left ( 1+\tan\frac{A}{4} \right )\left ( 1+\tan\frac{B}{4} \right )\left ( 1+\tan\frac{C}{4} \right )$

Giải phương trình  $\sin^{3}x+4\cos^{3}x=3\cos x$