in4math3tics

B2: Tách thành $6x^2 + 8xy + 11y^2 = (ax+by)^2 + k(a-b)^2 \geq (ax+by)^2$, đồng nhất hệ số để tìm a,b,k

Cách này có lẽ sẽ dễ hiểu hơn dùng Minkowski.

a) $(a;b;c) = (1;4;-2)$

b) Từ giả thiết: $\frac{b}{a} + \frac{c}{b} + \frac{a}{c} = 3$ 

Đặt $x^{3} = \frac{b}{a}$ Tương tự các biến $y,z (x;y;z \epsilon Q)$

Khi đó: $x^{3} + y^{3} + z^{3} = 3xyz \Leftrightarrow (x+y+z)(x^2 + y^2 + z^2 - xy - yz - zx) = 0$

Do $a,b,c$ đôi một khác nhau nên $x,y,z$ cũng đôi một khác nhau.

$\Rightarrow x+y+z=0 \Leftrightarrow \sqrt[3]{\frac{b}{a}} + \sqrt[3]{\frac{c}{b}} + \sqrt[3]{\frac{a}{c}} = 0$

$\Rightarrow b\sqrt[3]{abc} + \sqrt[3]{(abc)^{2}} + ab = 0$ và $bc + c\sqrt[3]{abc} + \sqrt[3]{(abc)^{2}} = 0$ 

Trừ theo vế, từ đó có đfcm.