Duc3290

Cho các số thực $x,y,a,b$ thỏa mãn $x^2-y^2=1$ và $\frac{x^4}{a}-\frac{y^4}{b}=\frac{1}{a-b}$

Chứng minh rằng với mọi $n \in \mathbb{N^*}$ ta có

$$\left ( \frac{x^2}{a} \right )^n+\left ( \frac{y^2}{b} \right )^n=\frac{2}{(a-b)^n}$$

Tìm $x,y$ nguyên thỏa mãn:

$$xy(x^2+y^2)+x^3+y^3=19$$

Cho $a,b,c\geq 0: ab+bc+ca=1$. Chứng minh rằng 

$$\frac{2a}{(a+1)^2} + \frac{2b}{(b+1)^2}+\frac{2c}{(c+1)^2} \geq \frac{2}{a+b+c}+\frac{abc}{2}$$

Cho $a,b,c,d$ là các số nguyên dương thỏa mãn $m=a-b+c-d$ là số lẻ và $a^2-b^2+c^2-d^2 \vdots m$. Chứng minh rằng $a^{2025}-b^{2025}+c^{2025}-d^{2025}$ chia hết cho $m$

Cho $a,b,c\geq 0: a+b+c=3$. Chứng minh rằng:

$$\frac{19}{20} \leq \frac{1}{1+a+b^2}+\frac{1}{1+b+c^2}+\frac{1}{1+c+a^2} \leq \frac{27}{20}$$