PhatPinkkk

Mình vừa nghĩ ra cách này, chắc là đơn giản hơn (với mình=))) một chút.

Ta có: $e^{b-a} = a + ln$ $b \Leftrightarrow  e^{b-a} + b - a = b + ln$ $b$

Đặt $k = ln$ $b$, khi đó phương trình trên trở thành: $e^{b-a} + b - a = e^k + k$

Để ý hai vế của phương trình đều có dạng $f(t) = e^t+t$  $(t\in R)$, ta có:

$f'(t) = e^t + 1 > 0 \quad\forall$ $t\in R$

Suy ra hàm số $f(t) = e^t+t$ đồng biến trên $R$. Do đó: $f(b-a)=f(k)  \Leftrightarrow  b-a=k = ln$ $b$ $\Leftrightarrow a = b - ln$ $b$

Đề bài yêu cầu tìm $a$ để phương trình ban đầu có 2 nghiệm dương $b$ phân biệt. Đặt $f(x) = x - ln$ $x$ $(x>0)$, bài toán trở thành: Tìm tham số $a$ để đồ thị của $f(x)$ cắt đường thẳng $y=a$ tại 2 điểm có hoành độ dương.

Xét $f'(x)=1-\frac{1}{x}$, ta có:    $f'(x)=0\Leftrightarrow x=1$. Bảng biến thiên như sau: 

Từ bảng biến thiên suy ra, đồ thị của $f(x) = x - ln$ $x$ cắt đường thẳng $y=a$ tại 2 điểm có hoành độ dương với $a>1$. Vậy, có $2020$ giá trị $a$ thỏa mãn đề bài.

Có bao nhiêu giá trị nguyên của $a$ thuộc khoảng $\left ( -2022;2022 \right )$ sao cho ứng với mỗi $a$ có đúng hai số thực dương $b$ thỏa mãn $e^{b-a} = a + \ln b$?