minh2906

Cho tam giác ABC có đường cao BD và CE cắt nhau tai H. M là trung điểm của BC, N là giao điểm của DE và BC. Chứng minh rằng NH vuông góc với AM. 

Trong lúc đọc tài liệu "Phương tích - Trục đẳng phương" của tác giả "Nguyễn Tăng Vũ" mình có thấy bài toán này ghi là MOP 95. Nhưng mình tìm trên mạng mà không biết bài toán này nằm ở đâu, ai đó có thể giúp mình không ạ.

Và nếu bài toán trên không dùng kiến thức đường tròn, tứ giác nội tiếp, định lý Brocard các thứ thì có làm được không ạ, mình đang muốn tìm lời giải mình cho là thuyết phục nhất thay vì chứng minh 3 điểm thẳng hàng hay các định lý không quá phổ biến. (tam giác đồng dạng, cộng góc, Thales, Ceva, Menelaus, ..., chỉ giới hạn trong kiến thức lớp 8)

Mình cảm ơn mọi người ạ.

PS : Mình có tìm được trên một nhóm toán nào đó có một người đã hỏi bài tựa tựa bài trên. Nếu ta chứng minh được H, M, O thẳng hàng thì ta có thể chứng minh H là trực tâm MAD và cũng suy ra được DH vuông AM.
(đây là bài lớp 8 nên ta sẽ không dùng cách kẻ đường kính AA' của đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC và H, M, O, A' thẳng hàng)

Dưới đây là một cách tiếp cận khác, sử dụng định lý Ceva kết hợp với lượng giác. Mình thì không có xu hướng thích dùng các kiến thức nâng cao kiểu này, nhưng muốn thử mở rộng các cách làm ra thêm xem sao. 

 

CÁCH 10.

Dang-DDTH-Thang4Ngay13-1.jpg

Xét tam giác ABC nhọn với ba đường cao AD, BE, CF.

 

Để ý rằng $S_{ABD}=\frac{1}{2}.AB.AD.\sin \angle BAD $,  $S_{ACD}=\frac{1}{2}.AC.AD.\sin \angle CAD$, và  $\sin \angle BAD=\cos B$, $\sin \angle CAD=\cos C$ (do AD vuông góc BC) ta suy ra  

 $\frac{BD}{CD}=\frac{S_{ABD}}{S_{ACD}}=\frac{AB.\sin \angle BAD}{AC.\sin \angle ACD }=\frac{AB.\cos B}{AC.\cos C }.$

 

Chứng minh tương tự ta có  $\frac{CE}{AE}=\frac{BC.\cos C}{AB.\cos A } $ và $\frac{AF}{BF}=\frac{AC.\cos A}{BC.\cos B }.$ 

 

Nhân vế với vế ba đẳng thức trên ta có $\frac{BD}{CD}.\frac{CE}{AE}.\frac{AF}{BF}=1.$ Theo định lý Ceva, ba đường cao AD, BE, CF đồng quy. 

____

Hi vọng sẽ được cùng mọi người tìm thêm các cách giải thú vị khác! 

Mình cũng nghĩ vậy, mình luôn tìm những cách cơ bản nhất để chứng minh một điều gì đó. Mình luôn khá để ý và tìm hiểu xem liệu cái nào có trước.
Lấy ví dụ như  $\lim_{x\to 0} \dfrac{sinx}{x} = 1$, ta không thể sử dụng L'H vì ta cần giới hạn kia mới chứng minh được đạo hàm các thứ.
Hay ta có thể sử dụng vector để chứng minh một số điều gì đó không, hình học thuần có trước hay đại số vector có trước ...
Tam giác đồng dạng có trước hay Định lý Thales có trước, hệ quả Thales là từ đâu mà ra (trong SGK khi hệ quả nhưng không chứng minh), ai là người tìm ra các tính chất của tam giác đồng dạng

Rất hay ạ
Mình cũng đã từng đặt câu hỏi như bạn, kể cả 3 đường trung tuyến, 3 đường phân giác và 3 đường đối trung cũng đồng quy, ... tuy nhiên trong SGK thì chỉ thừa nhận những điều đó chứ không chứng minh.

\( \lim_{x\to 0^{+}} f(x) = 0 \)

\( \lim_{x\to 0^{-}} f(x) = \dfrac{1}{2} \)

$\Rightarrow$ không tồn tại \( \lim_{x\to 0} f(x) \)