trannhatlong

Câu bất:

 

Đặt $a=\frac{1}{xy}$, $b=\frac{1}{yz}$ và $c=\frac{1}{xz}$

 

Giả thiết tương đương với : $a^2+b^2+c^2+2abc=1$

 

Ta phải chứng minh: $a+b+c \geq 2(ab+ac+bc)$

 

Ta có : $a^2+b^2+c^2 +abc+abc+\frac{1}{8} = \frac{9}{8} \geq a^2+b^2+c^2+ \frac{3}{2}.\sqrt{a^2b^2c^2 }$

 

$\geq a^2+b^2+c^2+ \frac{9abc}{2(a+b+c)} \geq ab+ac+bc +\frac{a^2+b^2+c^2}{2}=\frac{(a+b+c)^2}{2}$

 

Từ đó: $S=a+b+c \leq \frac{3}{2}$

 

Mặt khác $2(ab+ac+bc) \leq \frac{2S^2}{3}$

 

Nên ta phải chứng minh $\frac{2S^2}{3} \leq S$. Tương đương với $S(3-2S) \geq 0$ . Đúng

 

Ta có đpcm. Dấu $=$ khi $a=b=c=\frac{1}{2}$

 

tại sao 

$ \frac{9abc}{2(a+b+c)} \geq \frac{a^2+b^2+c^2}{2} $