yaWeee

Xem bài này:

https://diendantoanh...85/#entry741594

Rồi ạ, mình chép nhầm cái mình nháp vào đề

$2 = \sum \frac{1}{a^2 + 1} = 3- \sum \frac{a^{2}}{a^{2}+1} \le 3 - \frac{(a+b+c)^{2}}{\sum (a^{2} + 1)} \Leftrightarrow (a+b+c)^{2} \le \sum a^{2} + 3 \Leftrightarrow 2(ab + bc + ca) \le 3$

Bài này nếu mình dùng cộng mẫu trực tiếp thì dấu sẽ bị đảo, tinh ý chút thf mình lấy 1 - đi tất cả các phân số rồi dùng cộng mẫu thì nó lại đúng chiều dấu quá đẹp luôn rồi

Cho \(a,b,c\ge0;a+b+c=1\). Tìm GTNN của biểu thức $P=\sqrt{2023a+4} + \sqrt{2024b + 4} + \sqrt{5c+4}$

a,b,c >=0; a+b+c = 1 => 0 <= a,b,c <=1

Ta có:

$0 <= c <= 1 => c(1-c) >= 0 <=> c >= c^2 => \sqrt[2]{5c + 4} >= \sqrt[2]{c^{2}+4c + 4} = c + 2$

Ta lại có:

$\sqrt[2]{2023a + 4} \geq \sqrt[2]{5a + 4}; \sqrt[2]{2024b + 4} \geq \sqrt[2]{5b + 4}$

Làm tương tự thì ta được:

$P \geq a+b+c+2.3 = 1+8 = 9$

Vậy min P = 9, P min khi (a,b,c)=(0,0,1)

Bài này mình lấy ý tưởng từ một bài số học từng xuất hiện trong đề thi HSGS Vòng 2 năm 2020 (bài gốc là kẹp lũy thừa). Bài này mình đơn thuần hơn là đánh giá giá trị, chọn được điểm rơi tại (a,b,c)=(0,0,1) thì mình đánh giá táo bạo hạ 2 thằng căn thức đầu tiên về dạng của căn thức số 3 là được rồi.

a,b là số thực không âm

a + b = 1

CM $\frac{1}{a^{2}+1} + \frac{1}{b^{2}+1} \leq \frac{8}{5}$

Bài này trong đề thi vòng 1 Giảng Võ này=)))

Biến đổi tương đương thôi bạn

$\frac{1}{a^2 + 1} + \frac{1}{b^2 + 1} - \frac{8}{5} \leq 0 <=> 5(a^{2} + b^{2}) + 10 - 8(a^{2} + b^{2} + a^{2}b^{2} + 1) \leq 0 <=> -3(a^{2}+b^{2})-8a^{2}b^{2}+2 \leq 0 <=> -8a^{2}b^{2}-1 + 6ab \leq 0 <=> (2ab-1)(1-4ab) <=0$

Điều này đúng do $2ab <4ab \leq (a+b)^{2} = 1$

Cho $a,b,c$ không âm thỏa mãn $\dfrac{2}{ab+1} + \dfrac{1}{c^2}\le2$ 

Chứng minh $2ab + 2bc + 2ac \le 3$

Với bộ $(a,b,c) = (1,2,1)$ thì BĐT điều kiện thỏa mãn nhưng BĐT cần chứng minh = 9 > 3, bạn kiểm tra lại đề bài nhé