VUJr

Cho ma trận $A$ vuông cấp $2021$ thoả mãn $A^{2021}= -I$, với $I$ là ma trận đơn vị cùng cấp. Xác định $\det(A+I)$

(A²⁰²⁰+A)(A+I)=A²⁰²¹+ A²⁰²⁰+ A+ I=-I + A²⁰²⁰+ A+ I= A²⁰²⁰ + A = A( A + I)(A²⁰¹⁸- A²⁰¹⁷+ A²⁰¹⁶- .....-A +I)=(A + I)(A²⁰¹⁹-A²⁰¹⁸+ A²⁰¹⁷-...+A)

Đảng thức xảy ra khi <=> A=-I 

hoặc  A ²⁰²⁰ + A=A²⁰¹⁹ - A²⁰¹⁸+ A^2017-...+A(*)

Xét A²⁰²¹ + I=0

<=>(A + I)(A²⁰²⁰-A²⁰¹⁹+A²⁰¹⁸ -....-A +I)=0

=>A=-I

hoặc A²⁰²⁰-A²⁰¹⁹+A²⁰¹⁸ -....-A +I = 0

(*)<=>A²⁰²⁰-A²⁰²⁰ -A +I=0

<=>A=I 

Thử lại I²⁰²¹=-I vô lí

nên chỉ có A=-I là nghiệm duy nhất

=> det(A+I)= 0

Đây là cách giải ngẫu hứng của mình.

Hy vọng có thể thấy những cách giải và phương pháp khác thú vị của mọi người^^

Vũ Tuệ