bocvacdem

CMR không tồn tại axtt $f: \mathbb{M}_2 \to \mathbb{M}_2$ mà $f^2(A) = 4A + A^T$

Bài 1. Cho các ma trận $M \in M_{4 \times 2}(\mathbb{R})$ và $N \in M_{2 \times 4}(\mathbb{R})$ thoả mãn
 
$$\mathrm{MN}=\left(\begin{array}{cccc}
-1 & 0 & 1 & 0\\
0 & -1 & 0 & 1\\
1 & 0 & -1 & 0\\
0 & 1 & 0 & -1
\end{array}\right)$$
Tính $NM$.
 
Bài 2. Tính định thức của ma trận $A=\left(a_{i j}\right)$ có cấp $n \times n$ được định bởi
$$a_{i j}= \begin{cases}(-1)^{|i-j|}, & \text { nếu } i \neq j \\ 2, & \text { nếu } i=j .\end{cases}$$
Bài 3. Cho $n$ là một số nguyên dương, xét hàm $f: \mathbb{Z} \rightarrow M_n(\mathbb{Z})$ định bởi
$$
f(x)=\left(\begin{array}{ccccc}
0 & 0 & \cdots & 0 & x \\
1 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 1 & \cdots & 0 & 0 \\
\vdots & \vdots & & \vdots & \vdots \\
0 & 0 & \cdots & 0 & 0 \\
0 & 0 & \cdots & 1 & 0
\end{array}\right) \text {, với mọi } x \in \mathbb{Z} \text {. }
$$
Chứng minh rằng:
 
a. $(f(x))^n=x I_n$.
 
b. Nếu $\mathrm{p}, \mathrm{q}$ là các số nguyên dương, đặt
$$
X=f\left((-1)^{n-1} p\right) ; Y=f\left((-1)^{n-1} q\right) \text { và } Z=f\left((-1)^{n-1}(p+q)\right)
$$
thì $\operatorname{det}(X), \operatorname{det}(Y), \operatorname{det}(Z)$ là các số nguyên dương và
$$
X^n+Y^n=Z^n
$$
Bài 4. Cho ma trận với hệ số thực $D$ có cấp $n \times n$ thoả tính chất $3 D^3=D^2+D+I_n$. Chứng minh rằng dãy ma trận $\left\{D^k\right\}_{k \in N}$ hội tụ về một ma trận luỹ đẳng. ( $\mathrm{X}$ được gọi là luỹ đẳng nếu $X^2=X$ ).
 
Bài 5. Cho $W$ là một không gian con của không gian vectơ $M_n(\mathbb{R})$ trên $\mathbb{R}$ thoả tính chất: với mọi $A, B \in W, \operatorname{trace}(A B)=0$. Chứng minh rằng: $\operatorname{dim} W \leq \frac{n(n-1)}{2}$.
(trace $(\mathrm{X})$ là tồng các phần tử trên đường chéo chính của ma trận $\mathrm{X}$ ).
 
Bài 6. Cho $A$ là một ma trận vuông cấp $n>1$ với hệ số phức. Chứng minh rằng:
$$A \bar{A}=I_n \Leftrightarrow \exists B \in G L_n(\mathbb{C}) \text{ sao cho} A=B \bar{B}^{-1}$$
(Nếu $A=\left(a_{i j}\right)$ thì $\bar{A}=\left(\overline{a_{i j}}\right)$, trong đó $\overline{a_{i j}}$ là số phức liên hợp của $a_{i j} ; G L_n(\mathbb{C})$ là tập hợp cảc ma trận vuông khả nghịch với hệ số phức).

Các anh chị cho em xin cách chứng minh 2 bài toán này với ạ. 

1. Cho ma trận $A = (a_{ij})_{4x4}$ với $a_{ij} \in \{-1,1\}$. CMR $ | \det (A) | \leq 16$
2. Cho ma trận $A = (a_{ij})_{5x5}$ với $a_{ij} \in \{-1,1\}$. CMR $ | \det (A) | \leq 64$