phomacsudoi

Mình xin đăng 3 bài này trước,về sau sẽ đăng tiếp (nguồn:sưu tầm)

1)Giải phương trình $(3x^2+4x+6)\sqrt{3x^2+4x+5}=27x^3+3x$

2)Giải phương trình $x^3+3x^2+4x+2=(3x+2)\sqrt{3x+1}$

3)Giải phương trình $7x^2-10x+14=5\sqrt{x^4+4}$ (Olympic 30/4 năm 2012 tại Vũng Tàu)

1)Giải phương trình $5x^2+6x+4=3(x+1)\sqrt{3x^2+4}$

2)Giải phương trình $(x^2-6x+11)\sqrt{x^2-x+1}=2(x^2-4x+7)\sqrt{x-2}$

-Trước khi đưa ra thắc mắc của em, em xin đưa ra ví dụ sau:

Đối với hệ phương trình bậc hai dạng $\left\{\begin{matrix} & a_1x^2+b_1y^2+c_1xy+d_1x+e_1y+f_1=0\\ & a_2x^2+b_2y^2+c_2xy+d_2x+e_2y+f_2=0 \end{matrix}\right.$

Chẳng có điều gì đáng nói nếu một trong hai phương trình của hệ có $\Delta$ là số chính phương, nhưng nếu một trong hai phương trình của hệ đều có $\Delta$ không chính phương thì sao ?

Ta cần một số $k$ thỏa mãn $(1)+k.(2)=f_1+kf_2$ có $\Delta$ là một số chính phương 

$(1)+k.(2)=(a_1+ka_2)x^2+(b_1+kb_2)y^2+(c_1+kc_2)xy+(d_1+kd_2)x+(e_1+ke_2)y+(f_1+kf_2)=0$

Ta đặt các giá trị $a=a_1+ka_2 \neq 0,b=b_1+bk_2;...;f=f_1+kf_2$ để thuận lợi cho việc tính toán

Vậy $ax^2+by^2+cxy+dx+ey+f=0\Leftrightarrow ax^2+(cy+d)x+by^2+ey+f=0 (1)$

$\Delta_1=c^2y^2+2cdy+d^2-4a(by^2+ey+f)=(c^2-4ab)y^2+2(cd-2ae)y+d^2-4af(2)$

Ta cần $\Delta_2=(cd-2ae)^2-(d^2-4af)(c^2-4ab)=0\Leftrightarrow (cd-2ae)^2=(d^2-4af)(c^2-4ab)\Leftrightarrow cde+4abf=ae^2+bd^2+fc^2$

Tóm lại, $k$ là nghiệm của $cde+4abf=ae^2+bd^2+fc^2$

-Vào vấn đề, em gặp khó khăn khi giải hệ phương trình dạng $\left\{\begin{matrix} & a_1x^2y^2+b_1x^2+c_1y^2+d_1xy+e_1x+f_1y+g_1=0\\ & a_2x^2y^2+b_2x^2+c_2y^2+d_2xy+e_2x+f_2y+g_2=0 \end{matrix}\right.$

Không có gì đáng nói nếu một pt trong hệ có $\Delta$ chính phương

Theo ý tưởng từ phần đầu tiên em được phương trình $(ay^2+b)x^2+(dy+e)x+cy^2+fy+g=0$ có $\Delta=(dy+e)^2-4(cy^2+fy+g)(ay^2+b)=-4acy^4-4afy^3+(d-4ag-4cb)y+(2de-4bf)y+e^2+4bg$

Đến đây em gặp bế tắc vì không biết phải làm gì nữa 
Cao nhân, huynh đệ giúp em với (cách giải hệ này ạ)

1)Giải phương trình $\sqrt{\frac{a-bx}{cx}}=\frac{x^2+(b+c)x}{x^2+a}$ với $a;b;c>0$

2)Giải phương trình $\sqrt{bx+c}=x\sqrt{px+q}$ với $a;b;q;p\in \mathbb{R}$ và $q^2=-3pb$

3)Cho $a;b;c;d$ thỏa mãn $0<a<c<d<b$ và $a+b=c+d$.Giải phương trình $\sqrt{x+a^2}+\sqrt{x+b^2}=\sqrt{x+c^2}+\sqrt{x+d^2}$

4)Giải phương trình $ax=(b+c\sqrt{x})(d-\sqrt{d^2-e\sqrt{x}})^2$,(a;b;c;d:const)

5)Giải phương trình $\sqrt[3]{a_1x+b_1}+\sqrt[3]{a_2x+b_2}+\sqrt[3]{a_3x+b_3}=\sqrt[3]{(a_1+a_2+a_3)x+b_1+b_2+b_3}$

6)Giải phương trình $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{x+1}}+\sqrt{x}=\sqrt{x+a+1}$ với 

a)a=0

b)a>1

1)Tìm giá trị nhỏ nhât của $A=\frac{2x^2-2xy+9y^2}{x^2+2xy+5y^2}$
2)Tìm giá trị nhỏ nhất của $B=\frac{2x^2+12xy}{2y^2+2xy+1}$ biết $x^2+y^2=1$
3)Cho các số thực $x;y;z$ thỏa mãn $x+y+z=1$.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=9xy+10y+11xz$
4)Tìm min của biểu thức $D=x^2+2y^2+2z^2+z(2y-z)+2(x-y)$
5)Cho các số thực $a;b$ thỏa mãn $a+b=ab$.Tìm cực trị của $D=\frac{1}{a^2+2a}+\frac{1}{b^2+2b}+\sqrt{(a^2+1)(b^2+1)}$