vanthien_tanphu

Bài 1: Cho hình nón đỉnh S, có độ dài đường sinh là d, góc giữa đường sinh và mặt đáy là . một mặt phẳng (P) qua đỉnh S và cắt hình nón theo hai đường sinh SA và SB. Góc giữa (P) và mặt phẳng đáy của hình nón là 60 độ. TÍnh diện tích tam giác SAB và khoảng cách từ tâm O của đáy hình nón đến (P).
ĐA: $\dfrac{2d^{2}sin\alpha}{3}\sqrt{3 cos^{2}\alpha - sin^{2}\alpha} \dfrac{dsin\alpha }{2} $

Bài 2: Cho khối chóp S.ABCD có ABCD là hình thang ( BC//AD), AD=2a, AB=BC=CD=a, $SA\perp(ABCD), SA=h. (\alpha)$ qua A, $(\alpha)\perpSD$ và $(\alpha)$ cắt SB, SC, SD lần lượt tại B', C, D'.
a) Cm: tứ giác AB'C'D' nội tiếp
b) Tính thể tích khối chóp S.AB'C'D'


Nhớ vẽ hình và giải chi tiết giùm mình

Bài giải sơ luợc cho bài 2 có ở file đính kèm

Ta có $\sqrt[n-1]{n} > \sqrt[n]{n+1} \Leftrightarrow n^n > (n+1)^{n-1} \Leftrightarrow n > \left(\dfrac{n+1}{n}\right)^{n-1}$
Khai triển $A = \left(\dfrac{n+1}{n}\right)^n = \left(1+\dfrac{1}{n}\right)^n = C_n^0+C_n^1\dfrac{1}{n^1} + C_n^2\dfrac{1}{n^2} + C_n^3\dfrac{1}{n^3}. . . .$
$A = 1 + \dfrac{n}{1.n} + \dfrac{n(n-1)}{1.2.n^2} +\dfrac{n(n-1)(n-2)}{1.2.3.n^3} + \dfrac{n(n-1)(n-2)(n-3)}{1.2.3.4.n^4}. . . $
Như vậy $ A < 1 + \dfrac{1}{1!} + \dfrac{1}{2!} + \dfrac{1}{3!} + \dfrac{1}{4!}. . . $
Suy ra $ A < 1 + 1 + \dfrac{1}{2} + \dfrac{1}{2^2} + \dfrac{1}{2^3} + \dfrac{1}{2^4} + . . . \dfrac{1}{2^{n-1}} = 1 + \dfrac{1 - \left(\dfrac{1}{2}\right)^n}{1 - \dfrac{1}{2}} < 3$
Từ đây ta được $\left(\dfrac{n+1}{n}\right)^{n-1} < A<3 \le n$

Cho a,b,c là 3 số thực dương thỏa mãn abc+a+c=b. Tìm Mã
$P = \dfrac{2}{{a^2 + 1}} - \dfrac{2}{{b^2 + 1}} + \dfrac{3}{{c^2 + 1}}$
Xin giúp em, gấp lắm rồi

Từ giả thiết ta có a + (-b) + c = a(-b)c
Đặt a = tanA, -b = tanB, c = tanC thì ta có A, B, C là ba góc một tam giác, trong đó B là góc tù.
khi đó $P = 2cos^2A - 2cos^2B + 3cos^2C = cos2A - cos2B + 3cos^2C\\ $
$\qquad P = 2sin(B-A)sin(B+A) + 3 - 3sin^2C$
Hay $P = -3sin^2C + 2\sqrt{3}sinC.sin(B-A) - sin^2(B-A) + 3 + sin^2(B-A)$
$ P = 3 + sin^2(B-A) - \left(\sqrt{3}sinC - sin(B-A)\right)^2$
Vậy MaxP = 4, Xảy ra khi $ A - B = 90^0, C = arcsin\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)$
Tức là $B = 135^0 - \dfrac{arcsin\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)}{2}$
$ A = 45^0 - \dfrac{arcsin\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)}{2}, C = arcsin\left(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\right)$
Rồi từ đây ta tính ra a = tanA, b = tanB, c = tanC.
Có thể bài này làm bằng biếb đổi đại số cũng được.

$\dfrac{1}{1+a^{3}}+\dfrac{1}{1+b^{3}}+\dfrac{1}{1+c^{3}}\geq \dfrac{3}{1+abc}$

Bài toán này thiếu điều kiện, vi dụ khi a = 0, b = c = 1 thì bất đẳng thức không đúng.
Đúng ra là cho a, b, c là ba số lớn hơn hay bằng 1, Chứng minh $\dfrac{1}{1+a^{3}}+\dfrac{1}{1+b^{3}}+\dfrac{1}{1+c^{3}}\geq \dfrac{3}{1+abc}$
Trước hết ta chứng minh bài toán " Cho $ x, y \geq 1$ Chứng minh $ \dfrac{1}{1+x} +\dfrac{1}{1+x}\geq\dfrac{2}{1+ \sqrt{xy} }$
Thật vậy bất đảng thức này tương đương $ (\sqrt{xy}-1)( \sqrt{x} - \sqrt{y})^{2}\geq 0$
Do đó $ \dfrac{1}{1+a^{3}} +\dfrac{1}{1+b^{3}} +\dfrac{1}{1+c^{3}} +\dfrac{1}{1+abc}\geq\dfrac{2}{1+\sqrt{(ab)^{3}}}+\dfrac{2}{1+ \sqrt{c^{3}abc}}\geq\dfrac{4}{1+ \sqrt{\sqrt{(abc)^{4}}}}$
$\Rightarrow \dfrac{1}{1+a^{3}}+\dfrac{1}{1+b^{3}}+\dfrac{1}{1+c^{3}}\geq \dfrac{3}{1+abc}$

:gammatrình

CMR
$cos \dfrac{ \pi }{4} +cos \dfrac{ \pi }{8} +...+cos \dfrac{ \pi }{ 2^{n+1} } >n- \dfrac{ \pi }{2}$
với mọi số nguyên dương $n \geq 2$
giải hộ mình với nhé
cám ơn các bạn

Trước tiên ta chứng minh: Với mọi x > 0, $cosx \geq 1-\dfrac{ x ^{2} }{2}$
Do đó $cos \dfrac{ \pi }{4} +cos \dfrac{ \pi }{8} +...+cos \dfrac{ \pi }{ 2^{n+1} } \geq n - \dfrac{1}{2}(\dfrac{\pi^{2}}{16}+\dfrac{\pi^{2}}{64}+. . .+\dfrac{\pi^{2}}{2^{2n+2}})$
Vì vậy ta chỉ cần chứng minh $\dfrac{1}{2}(\dfrac{\pi^{2}}{16}+\dfrac{\pi^{2}}{64}+. . .+\dfrac{\pi^{2}}{2^{2n+2}}) \leq \dfrac{\pi}{2}$, điều này là không khó.
Bài toán này có lẻ bất đẳng thức cho không chặc lắm