Tìm kiếm
Bí mật
Có lẽ anh Mr Stoke nhầm rồi! Trung bình cộng 2 số liên tiếp của dãy không phải là số thuộc dãy cần tìm. Bài này có 1 dãy duy nhất thỏa mãn là dãy [2(n^2)-1]^2Câu hỏi này tương đương với câu hỏi: tìm cấp số cộng tăng vô hạn mà các phần tử là các số chính phương và hai số liên tiếp đôi một nguyên tố cùng nhau.
tng
Trong chủ đề: giới hạn về e
05-05-2005 - 14:36
em gõ lại cái đề đã này: Giả sử c>0.Lập dãy (x_{n}) theo quy luật sau:
x_{0}= c;x_{n+1}=x_{n} + :frac{1}{x_{n}^2}
CMR tồn tại 2 số dương c và A sao cho:lim( :frac{x_{n}^c}{n}) = A khi n tiến ra +
lời bài giải:
Ta có: x_{n+1}^3 = x_{n}^3 +3+ :frac{3}{x_{n}^3}+ :frac{1}{x_{n}^6} (1)
Từ (1) ta suy ra: x_{n+1}^3 > x_{n}^3+3 (2)
(2) đúng với mọi số 0,1,...,n-1 nên cộng lại ta sẽ có: x_{n}^3 > x_{0}^3+3n.
Từ đó suy ra: x_{k+1}^3 < x_{k}^3+3+ :frac{3}{x_{0}^3+3k}+ :frac{1}{(x_{0}^3+3k)^2} < x_{k}^3 +3+ :frac{1}{k}+ :frac{1}{9*k^2}.
Viết các đẳng thức của (1) ứng với k=1,2,...,n-1 cộng lại ta có:
x_{n}^3 < x_{1}^3+3(n-1)+
( :frac{1}{k})+1/9* 
:limits_{i=1}^{n-1}( :frac{1}{k^2}) < x_{1}^3+3n+ ( :frac{1}{k}+1/9* :frac{1}{k^2}) (3)
Mà ( :frac{1}{k^2} < 1+ :frac{1}{1*2}+ :frac{1}{2*3}+...+ :frac{1}{(n-1)*n} = 2- :frac{1}{n} <2
Theo bất đẳng thwcs bunhiacovki, ta có : [ ( :frac{1}{k})]^2 
n*[ ( :frac{1}{k^2})]<2n (4)
Do đó : ( :frac{1}{k}<2* :sqrt{n} (5)
do (4) và (5) nên từ (1)và (3) suy ra:
:frac{x_{0}^3}{n}+3< :frac{x_{n}^3}{n}< :frac{x_{1}^3}{n}+3+ :sqrt{ :frac{2}{n}}+ :frac{2}{9n}.
Chuyển qua giới hạn ta thu được : lim( :frac{x_{n}^3}{n}=3
Vậy A=c=3
x_{0}= c;x_{n+1}=x_{n} + :frac{1}{x_{n}^2}
CMR tồn tại 2 số dương c và A sao cho:lim( :frac{x_{n}^c}{n}) = A khi n tiến ra +
lời bài giải:
Ta có: x_{n+1}^3 = x_{n}^3 +3+ :frac{3}{x_{n}^3}+ :frac{1}{x_{n}^6} (1)
Từ (1) ta suy ra: x_{n+1}^3 > x_{n}^3+3 (2)
(2) đúng với mọi số 0,1,...,n-1 nên cộng lại ta sẽ có: x_{n}^3 > x_{0}^3+3n.
Từ đó suy ra: x_{k+1}^3 < x_{k}^3+3+ :frac{3}{x_{0}^3+3k}+ :frac{1}{(x_{0}^3+3k)^2} < x_{k}^3 +3+ :frac{1}{k}+ :frac{1}{9*k^2}.
Viết các đẳng thức của (1) ứng với k=1,2,...,n-1 cộng lại ta có:
x_{n}^3 < x_{1}^3+3(n-1)+
( :frac{1}{k})+1/9* :limits_{i=1}^{n-1}( :frac{1}{k^2}) < x_{1}^3+3n+ ( :frac{1}{k}+1/9* :frac{1}{k^2}) (3)Mà
( :frac{1}{k^2} < 1+ :frac{1}{1*2}+ :frac{1}{2*3}+...+ :frac{1}{(n-1)*n} = 2- :frac{1}{n} <2Theo bất đẳng thwcs bunhiacovki, ta có : [
( :frac{1}{k})]^2 n*[ ( :frac{1}{k^2})]<2n (4)Do đó :
( :frac{1}{k}<2* :sqrt{n} (5)do (4) và (5) nên từ (1)và (3) suy ra:
:frac{x_{0}^3}{n}+3< :frac{x_{n}^3}{n}< :frac{x_{1}^3}{n}+3+ :sqrt{ :frac{2}{n}}+ :frac{2}{9n}.
Chuyển qua giới hạn ta thu được : lim( :frac{x_{n}^3}{n}=3
Vậy A=c=3
