boymaths

Một dãy số có hạng đầu là 16. Còn những số hạng sau đều là do chèn số 15 vào giữa số hạng đứng liền trước. Tức là : 16; 1156; 111556; 11115556;....... Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy số đều lòa số chính phương.

-------------------------------------------------------------------------------
Rất tiếc vì ko đa'nh được số mũ., nên post lên hơi khó coi.

Chú ý rằng đây là số có 2n chữ số. Ta phân tích


111...155...56=10^(2n-1)+10^(2n-2)+...+10^(n)+5.10^(n-1)+5.10^(n-2)+...
+5.10+6. (n số 1, (n-1) số 5 và số 6)
= 10^(n)10^(n-1)+10^(n-2)+...+1)+5.(10^(n-1)+10^(n-2)+...
+1)+1.
= ( 10^(n)+5).(10^(n)-1)/9 + 1
= (10^(2n) + 4.10^(n)+ 4) /9
= ( (10^(n) +2) ^2) /9.

Dễ dàng CM được (10^(n)+2) 3.

=> dpcm.

Một dãy số có hạng đầu là 16. Còn những số hạng sau đều là do chèn số 15 vào giữa số hạng đứng liền trước. Tức là : 16; 1156; 111556; 11115556;....... Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy số đều lòa số chính phương.

--------------------------------------------------------------------------------
Chú ý rằng đây là số có 2n chữ số. Ta phân tích
111...155...56=10^{2n-1}+10^{2n-2}+...+10^{n}+5.10^{n-1}+5.10^{n-2}+...
+5.10+6. (n số 1, (n-1) số 5 và số 6)
= 10^{n}.(10^{n-1}+10^{n-2}+...+1)+5.(10^{n-1}+10^{n-2}+...
+1)+1.
= :frac{10^{n}.(10^{n}-1)}{9}+ :frac{5.10^{n}(10^{n}-1)}{9}
+1.
= :frac{10^{2n}+4.10^{n}+4}{9}.
= ( :frac{(10^{n}+2)}{9} )^{2}.

Dễ dàng CM được (10^{n}+2) 3.

=> dpcm.