number

gọi O là trung điểm của AB, $K= OC\cap AF$ $\Rightarrow $ K là trọng tâm của $\delta ABC.$
$ \dfrac{OK}{KC} = \dfrac{OM}{MB} =1/2 \Rightarrow KM//BC \Rightarrow \widehat{KMO}= \widehat{ABC} $
TH1: $H \in AK$. tứ giác KHOM nội tiếp $ \Rightarrow \widehat{OHF} +\widehat{OBF}= \widehat{OHF}+\widehat{KMO}=180 $ .Suy ra OHFB nội tiếp $\Rightarrow \widehat{BHF} = \widehat{BOF} = \widehat{ABC}$
TH2$:H \in KF$.OKHM nội tiếp $\Rightarrow \widehat{KMO}= \widehat{KHO}= \widehat{ABC} \Rightarrow $OHFB nội tiếp
$\widehat{BHF} = \widehat{BOF} = \widehat{ABC}$

giải pt nghiệm nguyên dương
x!+y!+z!=5n!

Giải 2 pt nghiệm nguyên với ẩn x,y,z sau:
1) $3^x+4^y=7^z$
2) $7^x+12^y=13^z$

Bài 2 :
Dễ thấy tìm nghiệm nguyên của pt tương đương với tìm nghiệm ko âm.
Xét x=0. phương trình tương đương 13^z=12^y+1
*$y=0$.Vô nghiệm ;$ y=1$ có nghiệm $(0;1;1) * y>=2$ thì $z \ge 2$.
${\rm{13}}^{\rm{z}} \equiv 1(\bmod 12)$.Bậc của $13 (mod12)$ là 2 $\to z \vdots 2$.Đặt$ z = 2k(k \ge 1).$
$13^{2k} = 12^y + 1 \Leftrightarrow 12^y = (13^k - 1)(13^k + 1) $ mà 13^k+1-(13^k-1)=2 và 13^k-1,13^k+1 chẵn $\to 2 \vdots d \to d{\rm{ = 2}} $với ${\rm{d = (13}}^{\rm{k}} + 1,13^k - 1)$
Vậy $13^k - 1 = 2$ và $13^k +1 =2^{2y - 1}.3^y$ (vô nghiệm) hoặc 13^k - 1=2.3^y và 13^k+1=$2^{2y - 1} $ với y>=5(vì khi đó$2^{2y - 1} $>2.3^y).Với 2<=y<5 thử trực tiếp thấy không thỏa mãn.
13^k+1-(13^k-1)=2 nên $2^{2y - 1} $-2.3^y =2.Mặt khác y>=5 thì $2^{2y - 1} $>2.3^y+2.Vậy
trường hợp này pt vô nghiệm.
xét $y=0.x=0;1$ vô nghiệm
$x \ge 2 \to z \ge 2 \to 7^x = 13^z - 1 \vdots 12 $ (vô lí)
$* 7^x \equiv -( - 1)^y (\bmod 13)$
y lẻ.$7^{x} \equiv 1(\bmod 13)$ Bậc $7(mod 13)$ là 12 nên$ x \vdots 12 $
y chẵn. $7^{2x} \equiv 1(\bmod 13) \to x \vdots 6$
vậy$ \to x \vdots 6$ với cả 2 TH
$*5^y \equiv 7^x + 12^y \equiv 13^z \equiv ( - 1)^z (\bmod 7)$
tương tự ta có bậc $5(mod 7)$ là 6 nên $y \vdots 3$
$*x \vdots 3.x = 3x_1 (x_1 \ge 2);y = 3y_1$ .
$7^x \equiv 7^{3x_1 } \equiv 7^3 \equiv 1(\bmod 9) and 12^y \equiv 12^{3y_1 } \equiv 12^3 \equiv 0(\bmod 9)$
$ \to 13^z \equiv 1(\bmod 9)$ .Vậy $z \vdots 3$ do bậc 13(mod9) là 3
đặt $z = 3z_1 ,x = 3x_1 ;y = 3y_1 (x_1 > 1;y_1 ,z_1 \ge 1 )$
$(7^{x_1 } )^3 + (12^{y_1 } )^3 = (13^{z_1 } )^3$ (vô nghiệm vì là pt Ferma với n=3)

pt đầu có nghiệm duy nhât $(0;1;1)$

Như vậy khi n lẻ lớn hơn 1 thì ta có thể lấy các số a=n, b=(n+1)/2 , c=n.(n+1)/2

Khi đó c chẵn!!! trái giả thiết 3 số dương lẻ phân biệt.