dung_toan78

Thứ 7, ngày 7 tháng 6 năm 2014.
Thời gian làm bài 120 phút.
Câu 1.
Cho biểu thức $A=(\frac{x+2\sqrt{x}+4}{x \sqrt{x}-8} + \frac{x+2\sqrt{x}+1}{x-1}) : (3+\frac{1}{\sqrt{x}-2} + \frac{2}{\sqrt{x}+1})$.

1. Rút gọn $A$.
2. Tìm giá trị của $x$ để $A>1.$
Câu 2.
1. Giải phương trình: $x^2+2x+7=3\sqrt{(x^2+1)(x+3)}.$
2. Giải hệ phương trình: $\begin{cases} x^2+y^2=3-xy \\ x^4+y^4=2 \end{cases}.$
Câu 3.
Cho phương trình (ẩn $x$): $x^2-3(m+1)x+2m^2+5m+2=0.$ Tìm giá trị của $m$ để phương trình có hai nghiệm phân biệt $x_1$ và $x_2$ thỏa mãn $|x_1 +x_2|=2|x_1 - x_2|$.
Câu 4.
Cho tam giác nhọn $ABC (AB<AC)$ nội tiếp đường tròn $(O).$ Kẻ đường cao $AH$ của tam giác $ABC.$ Gọi $P, Q$ lần lượt là chân đường cao kẻ từ $H$ đến các cạnh $AB, AC.$
1. Chứng minh rằng $BCQP$ là tứ giác nộ tiếp.
2. Hai đường thẳng $PQ$ và $BC$ cắt nhau tại $M.$ Chứng minh rằng $MH^2=MB.MC.$
3. Đường thẳng $MA$ cắt đường tròn $(O)$ tại $K$ ($K$ khác $A$). Gọi $I$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác $BCQP$. Chứng minh rằng ba điểm $I, H, K$ thẳng hàng.
Câu 5.
Chứng minh rằng $1+\frac{2} {2}+\frac{3} {2^2}+\frac{4} {2^3}+...+\frac{2014} {2^{2013}}+\frac{2015} {2^{2014}}<4$
Hết.