Bây giờ tôi sẽ giới thiệu một ứng dụng nhỏ cho phương pháp này
Bắt đầu từ sự kiện rất nhỏ $[(a-b)^{2}(b-c)(c-a)+(a-b)(b-c)^{2}(c-a)+(a-b)(b-c)(c-a)^{2}]t=0$
Cho a,b,c là các số không âm .CMR $(a-b)^{2}(a+b-c)+(b-c)^{2}(b+c-a)+(c-a)^{2}(c+a-b)\geq 0$
Tìm hằng tử t như sau $(a-b)^{2}[a+b-c+t(b-c)(c-a)]+(b-c)^{2}[b+c-a+t(a-b)(c-a)]+(c-a)^{2}[c+a-b+t(a-b)(b-c)]\geq 0$
Lưu ý 1: t là hàm đối xứng theo a,b,c .Để mỗi biểu thức trong ngoặc không âm thì việc đầu tiên là đồng bậc.Do đó t là có bậc -1=>$t=\frac{-2}{a+b+c}$
Lưu ý 2: $x-a\geq \frac{x^{2}-a^{2}}{2x}$ .Với mọi x >0.Việc này phép khử bậc 4 do đó $a+b-c=(a+b+c)-2c\geq \frac{(a+b+c)^{2}-4c^{2}}{2(a+b+c)}$
Biểu thức trong ngoặc vuông đầu tiên $a+b-c-\frac{2(c-a)(b-c)}{a+b+c}\geq \frac{(a+b+c)^{2}-4c^{2}}{2(a+b+c)} -\frac{2(c-a)(b-c)}{a+b+c}=\frac{(a+b-c)^{2}+4ab}{2(a+b+c)}\geq 0$