KhùngLãoQuái

Chứng minh rằng với các số thực dương $a ;b;c $ , ta luôn có :

$ \dfrac{1}{a^2 + ab + b^2 } + \dfrac{1}{b^2 + bc + c^2 } + \dfrac{1}{c^2 + ca +c^2 } \ \geq \ \dfrac{5}{3(ab + bc + ca)} + \dfrac{4}{3(a^2 + b^2 + c^2 )}$

Bài Toán :

Cho số nguyên dương $n \geq 2 $

Xét tập $ \mathbb{A} = \{ 1 ;2; ...; 2n \} $ . Giả sử $ \mathbb{S} \subseteq \mathbb{A} ; | \mathbb{S} | = n $

Biết rằng với $2$ phần tử phân biệt $a ; b $ bất kỳ thuộc $ \mathbb{S}$ , ta luôn có : $ \[ a ; b \] > 2n $

Chứng minh rằng mọi phần tử thuộc $ \mathbb{S}$ đều lớn hơn $\left \lfloor \dfrac{2n}{3} \right \rfloor$

Hẳn chúng ta đã quá quen thuộc với số Catalan nổi tiếng : $ C_{k} = \dfrac{1}{k+1} C_{2k}^{k} $

Bài toán :

Hãy tìm tất cả các số nguyên dương $n$ sao cho :

$ u_n \ = \ \sum_{k=1}^{n} C_{k} \ \equiv \ 1 \ \ (mod \ \ 3 )$


Bài toán khó hơn :

Hãy giải bài toán nếu trên nếu yêu cầu đặt ra là $ u_n \ \equiv \ 0 \ \ (mod \ \ 3 )$ và $ u_n \ \equiv \ 2 \ \ (mod \ \ 3 )$

Có $13$ viên bị bên ngoài giống nhau . Trong đó có $12$ viên bị có khối lượng giống nhau và viên còn lại có khối

lượng khác những viên bi đó . Bằng $1$ cái cân chính xác và không quá $3$ lần cân . Hãy xác định viên bi có khối lượng

khác những viên còn lại .

Có đứa em nhờ giải hộ bài này :

Tìm 4 số nguyên dương $a ; b ;c ;d $ thỏa mãn :

$ \overline{ab} . \overline{cd} \ = \ \overline{bbb} $

ko bít em nó học đồng dư chưa , thôi thì chân phương ra vậy :

Ta có : $ (10a+b)(10c+d) = 10 \overline{bb} + b $

$ \Rightarrow bd - b = b(d-1) \vdots 10 $ nên ta thấy là chỉ thể xảy ra 1 trong các trường hợp sau :

TH1 : $ d=1$

TH2 : $b $ nhận 1 trong các giá trị $ 2 ; 5; 4 ; 6 ; 8 $

Sở dĩ có trường hợp $2$ như thế vì khi $ d \ \geq \ 2 $ thì $ b \vdots 2 $ hoặc $ b \vdots 5 $

Với các trường hợp trong TH2 , ta chỉ cần lập bảng ra , chẳng hạn như với $ b=5$ thì đi tìm các ước số nguyên dương có 2 chữ số của $555$ với tận cùng là $5$

Xét trường hợp 1 : $ \overline{ab} . \overline{c1} \ = \ \overline{bbb} $

$ \Rightarrow (10a+b)(10c+1) = 10\overline{bb} + b $

$ \Rightarrow 10ac + a+c = \overline{bb}$

Đến đây , ta nhận xét là $ ac \ \leq 9 $ và $ a ; c \ \neq 1 ; a \ \neq \ c $

Có 2 trường hợp $ \{a ; c \} = \{2 ; 3 \} ; \{a ; c \} = \{2 ; 4 \} $

Xét cụ thể và từ đây , ta dễ dàng tìm ra được tất cả các nghiệm .