10TLK

CHo $\Delta ABC $ có $tan(\dfrac{A}{4}),tan(\dfrac{B}{4})$ là nghiệm cuả pt: $x^{2} + a_{1} x + b_{1} =0 $
$ tan(\dfrac{C}{4}),tan(\dfrac{B}{4}) $là nghiệm cuar pt: $x^{2} + a_{2} x + b_{2} =0$
$ tan(\dfrac{A}{4}),tan(\dfrac{C}{4})$ là nghiệm cuar pt: $ x^{2} + a_{3} x + b_{3} =0 $
CM: $(1 - a_{1} + b_{1})(1 - a_{2} + b_{2})(1 - a_{3} + b_{3}) \leq 5616 -3240 :sqrt{3} $

Bài 1: Cho 75 điểm trong hình lập phuơngạnh bằng 1. CMR: tồn tại 1 tam giác có 3 đỉnh trong số các điểm đó có $S \leq \dfrac{7}{72}$
Bài 2 : Cho tứ diện ABCD . M là điểm di động trên (BCD). Đuờng thẳng vuông góc với mp (BCD) tại M cắt các mp (ABC),(ACD),(ADB) lần lụt tại M1,M2,M3.CMR: đk cần và đủ để tổng $MM_1+MM_2+MM_3$ không phụ thuộc vào M là đuờng cao của tứ
diện ABCD kẻ từ A đi qua trọng tâm tam giác BCD.
Bài 3 : CHo tứ diện O.ABC có OA,OB,OC vuông góc với nhau từng đôi một. $OA=a,OB=b,OC=c$. Điểm $H \in (ABC).$
1. Đặt$ OA+OB+OC+AB+AC+BC=k$. Tìm Max P =abc theo k.
2. Đặt $a^2 + b^2 + c^2 =m$.Tính max $S_{abc}$ theo m. Khi đó CM OH cũng đạt max.
Bài 4 : Cho tứ diện đều S.ABC có Sa = BC, Sb = CA, SC = Ab. Mp (P) qua tâm đuờng tròn nội tiếp $\Delta ABC $ cắt các đuờng thẳng SA,SB,SC lần luợt tại M,N,P.Cm: $SM+SN+SP \geq SA+SB+SC.$
Bài 5 : CHo hình chóp S.ABCD có ABCD là hình thang vuông tại A.D (AB//CD). AB=AD=SD=a.CD=2a, $SD \perp (ABCD)$. Gọi I,E lần luợt là trung tuyến BC,CD.
1. Tính DI
2. Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.ABE
3.Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.BCD
4.Xác định tâm và bán kính mặt cầu ngoại tiếp hình chóp S.BCE.
Bài 6 : Cho hình lăng trụ tam giác ABC.A'B'C' có các mặt bên là những hình vuông cạnh a. Gọi D,E,F là trung điểm của các cạnh BC,A'C',C'B'.Tính d(DE;A'F).
Bài 7 : Cho hình hộp chwx nhật ABCD.A'B'C'D' có AB=a,AD=2a,AA'=a.Gọi M là điểm chia AD theo tỉ số AM/MD=3. Tính d(M;(AB'C)).
Bài 8 : CHo hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a. $\Delta SBC$ đều tâm I, $\Delta SBA $ vuông tại B.M,N là trung điểm AB,CD. Một duờng thẳng d di động qua I đồng thời cắt các đuờng thẳng MN,SA lần luợt tại P,Q.Tính PQ theo a.
Bài 9 : CHo tứ diện ABCD có AB=CD=a, AC=BD=b,AD=BC=c. Gọi $\alpha , \beta , \gamma:$ là góc giữa 2 đuờng thẳng AB và CD,AC và BD,AD và BC. CMR : trong 3 số hạng $ a^{2} cos \alpha ,b^{2} cos \beta ,c^{2} cos \gamma:$ có 1 số hạng là tổng của 2 số hạng còn lại.
Bài 10 : Cho tứ diện ABCD có bán kính mặt cầu nội tiếp là r. Cm: $\ V_{ABCD} \geq \dfrac{32}{3} r^{3}.$
Có sai mí chỗ mọi nguời sửa dùm

1/Cho a,b là các số nguyên dương sao cho $a \leq \dfrac{b^2}{4}$ và mọi ước nguyên tố của a đều ko lớn hơn b. CMR : $b! \ \vdots \ a$
2/ Tồn tại hay ko một dãy vô hạn các số nguyên dương thỏa mãn :
- ko có phần tử nào trong dãy là ước của 1 phần tử khác
- 2 phần tử bất kì của dãy đều có ƯCLN = 1 nhưng ko tồn tại một số nguyên lớn hơn 1 là ước chung của các phần tử của dãy.

Cho các số nguyên dương k và n (k n). Hỏi có tất cả bao nhiêu chỉnh hợp ( a_{1} , a_{2} , ...... , a_{k})chập k của n số nguyen dương đầu tiên mà mỗi chỉnh hợp ( a_{1} , a_{2} , ...... , a_{k}) thỏa mãn ít nhất một trong 2 đk sau:
1. tồn tại s,t {1;2;....;k} sao cho a_{s} - s ko chia hết cho 2
2. tồn tại s {1;2;....;k} sao cho s < t và a_{s} > a_{t}

Cho điểm P thuộc mặt cầu (S) bán kính R. Xét hình chóp P.ABC (A,B,C (S)) có PA,PB,PC vuông góc từng đôi một, P cố định.
1. CM mp (ABC) luôn đi qua một điểm cố định.
2. Tìm GTLN của diện tích S của tam giác ABC