- Nguyên Lê -

Bài 16:Cho $a,b,c$ dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1$Chứng minh rằng:
$\dfrac{1}{1-bc}+\dfrac{1}{1-ca}+\dfrac{1}{1-ab}\le \dfrac{9}{2}$
Bài 17:Cho $a,b,c$ dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1$Chứng minh rằng:
$a^2\sqrt{1-bc}+b^2\sqrt{1-ca}+c^2\sqrt{1-ab}\ge \sqrt{\dfrac{2}{3}}$

$\Leftrightarrow\dfrac{bc}{1-bc}+\dfrac{ca}{1-ca}+\dfrac{ab}{1-ab}\le\dfrac32$
Bài 16: Áp dụng bất đẳng thức AM - GM và Schwarz:
$\dfrac{bc}{1-bc}\le\dfrac{(b+c)^2}{4-2(b^2+c^2)}=\dfrac12.\dfrac{(b+c)^2}{2a^2+b^2+c^2}\le\dfrac12\left(\dfrac{b^2}{a^2+b^2}+\dfrac{c^2}{a^2+c^2}\right)$

Tương tự cộng lại được đpcm

Bài 17: Tương tự:
$a^2\sqrt{1-bc}=\dfrac{a^2}{\sqrt2}.\sqrt{2-2bc}\ge\dfrac{a^2}{\sqrt2}\sqrt{1+a^2+b^2+c^2-b^2-c^2}=\dfrac{a^2}{\sqrt2}.\sqrt{1+a^2}$
Áp dụng CBS ta có:
$\\\left(\dfrac13+1\right)(a^2+1)\ge\left(\dfrac a{\sqrt3}+1\right)^2\\\Rightarrow\sqrt{a^2+1}\ge\dfrac{a+\sqrt3}2\\\Rightarrow\dfrac{a^2}{\sqrt2}.\sqrt{1+a^2}\ge\dfrac{a^2(a+\sqrt3)}{2\sqrt2}$

Tương tự cộng lại, kết hợp với $a^3+b^3+c^3\ge\dfrac1{\sqrt3}$ nữa là được. =.=
(Hình như cách hơi lằng nhằng)