einstein_2nd

1, Trong mặt phẳng tọa độ đề các vuông góc 0xy cho 6 điểm ,A,B,C,D,E,F, biết rằng mổi điểm đều có các tọa độ là những số nguyên.Chứng mr có ít nhất 8 tam giác được tạo thành từ 3 trong 8 điểm đã cho có diện tích là các số nguyên.
2, Cho tập hợp S={m thuộc Z\|m|bé hơn hoặc bằng n,n thuộcN*}.gọi X là tập hợp con bất kỳ của S có n+2 phần tử. Chứng minh rắng luôn tồn tại a,b,c thuộc X thỏa mãn điều kiện a+b=c

Bài 1 : Ta có $S_{ABC} = \dfrac{1}{2} \$ x | $(x_{B}-x_{A})(y_{C}-y_{A})-(x_{C}-x_{A})(y_{B}-y_{A})$|
Như vậy nếu 2 trong 3 điểm A,B,C có tọa độ cùng tính chẵn hoặc cả 3 điểm đôi một có tọa độ khác tính chẵn lẻ lẽ với nhau thì $S_{ABC}$ là một số nguyên ( do hiệu hai số cùng tính chẵn lẻ là 1 số chẵn ). Lại có trong cách chọn tọa độ nguyên (x;y) cho 1 điểm thì chỉ có tối đa 4 trường hợp xảy ra là x,y chẵn ; x,y lẻ ; x chẵn,y lẻ ; x lẻ,y chẵn . Suy ra trong 6 điểm đã cho phải có hai cặp điểm phân biệt
có tọa độ cùng tính chẵn lẻ ( 4 điểm này phân biệt ) hoặc 3 điểm có tọa độ cùng tính chẵn lẻ , 3 điểm còn lại đôi một có tọa độ khác tính chẵn lẻ.

+ TH1: Giả sử 2 cặp điểm này là A,B và C,D khi đó 8 tam giác sau thỏa mãn : ABC,ABD,ABE,ABF,CDA,CDB,CDE,CDF.
+ TH2 : Giả sử 3 điểm là A,B,C suy ra 8 tam giác tỏa mãn : ABC,ABD,ABE,ABF,ACD,ACE,ACF,DEF.
=> dpcm !


Bài 2 : Dễ thấy $S_{n}$ có 2n + 1 phần tử . Đặt {$Y_{n}$} = {$S_{n} $} \ {$X_{n}$}suy ra $Y_{n}$ có 2n+1 - (n+2) = n - 1 phần tử.
Quy nạp theo n : giả sử đúng với n . Xét với n + 1 ta có :
- Nếu n + 3 phần tử của $X_{n+1}$ có n+2 phần tử thuộc $X_{n}$ suy ra thỏa mãn.
- Trường hợp còn lại phải là $X_{n+1}$ có 2 phần tử là n+1 và - (n+1) . Giả sử có k số không âm là $m_{1}$ , $m_{2}$ , ... , $m_{k}$ , n+1-k phần tử âm là $p_{1}$ , $p_{2}$ , ... , $p_{n+1-k}$ , suy ra : các phần tử -(n+1)+$m_{i}$ đều âm và đều lớn hơn -(n+1) hay nói cách khác là đều thuộc $S_{n+1}$ với mọi i và các phần tử n+1+$p_{i}$ cũng thuộc $S_{n+1}$ với mọi i . Dễ thấy các phần tử này phân biệt và chúng không thể cùng thuộc $Y_{n+1}$ do tập này chỉ có (n+1)-1= n phần tử => Done !

Kể ra đề Thanh Hóa năm nay cũng nhẹ nhành nhỉ .