chipbach

đây là câu cuối(1đ) trong đề thi hsg tỉnh Hưng Yên bậc THCS thi 15/3 vừa rồi

Bài 2 dùng quy nạp
đặt $ {{\rm B}_n} = \left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)...2n $
ta cần chứng minh ${{\rm B}_n} \vdots {2^n} $
n=1 đúng
giả sử đúng vs n=k tức là $\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right)...2k \vdots {2^k} $
ta CM đúng với n=k+1 hay
$ \left( {k + 2} \right)\left( {k + 3} \right)...2k\left( {2k + 1} \right)\left( {2k + 2} \right) \vdots {2^{k + 1}} $
ta có:
$\left. \begin{array}{l} \dfrac{{\left( {2k + 1} \right)\left( {2k + 2} \right)}}{{k + 1}} = 2\left( {2k + 1} \right) \vdots 2 \\ {{\rm B}_k} \vdots {2^k} \\ \end{array} \right\} \Rightarrow {{\rm B}_k}.\dfrac{{\left( {2k + 1} \right)\left( {2k + 2} \right)}}{{k + 1}} \vdots{2^{k + 1}} $
vậy đúng với n=k+1 => đpcm

có cách làm nào khác không dùng quy nạp ko ạ?

Thế còn bài 1 và bài 2?

có cách làm nào khác cách đó ko?

Bài 2:
Do $a,b,c>0$ nên áp dụng BĐT AM-GM ta có :
$a+b \geq 2\sqrt{ab},b+c \geq 2\sqrt{bc},c+a \geq 2\sqrt{ca} $
$\Rightarrow (a+b)(b+c)(c+a) \geq 2\sqrt{ab}.2\sqrt{bc}.2\sqrt{ca}=8abc$
Dấu"=" xảy ra khi $a=b=c(dpcm)$

BĐT AM-GM là gì vậy?