linhdieu12

Trãi qua một thời gian dài, nhân loại đã tìm ra rất nhiều cách chứng minh BDT. Người Việt Nam ta cũng đã phát minh ra 1 pp chứng minh BDT hay mà phải nói là mạnh, đó là pp phân tích bình phương SOS. Thông thường khi phân tích ta phải nhóm các số hạng sao cho hợp lí và phải nhớ các cách phân tích cơ bản, việc này đòi hỏi một quá trình rèn luyện lâu dài mới có thể gọi là thành thạo. Hôm nay mình xin trình bày 1 cách phân tích SOS mà theo mình la đơn giản và không cần nhớ các phân tích cơ bản mà chỉ biết cách chia đa thức là đã có thể phân tích được. Mình xin nêu ra 1 ví dụ:
1) Phân tích SOS cho biểu thức: $M= 4(a^3+b^3+c^3)-(a+b)(b+c)(c+a)-4abc$
Giải: Cho $a=b$, ta có $M=(6a+4c)(a-c)^2$ (1)
Cho $b=c$, ta có $M=(6b+4a)(a-b)^2$ (2)
Cho $c=a$, ta có $M=(6c+4b)(b-c)^2$ (3)
Từ đó ta có hệ gồm 3 pt sau:
$S_a+S_b=3a+3b+4c$ (1')
$S_b+S_c=3b+3c+4a$ (2')
$S_c+S_a=3c+3a+4b$ (3')
Từ đây ta tính được $S_a=2b+2c+a$ ; $S_b=2a+2c+b$ ; $S_c=2a+2b+c$
Vậy ta có : $M= (2b+2c+a)(b-c)^2+(2a+2c+b)(c-a)^2 + (2a+2b+c)(a-b)^2$
* Chắc các bạn thắc mắc rằng tại sao ta có hệ trên. Chú ý là các biểu thức $S_a,S_b,S_c$ là các biểu thức bán đối xứng.Ở (1) ta đã gọp a và b thành một nên sau khi chia xong ta phải tách chúng ra mà cụ thể $6a=3a+3b$ . Tương tự đó với (2) và (3).
Sau đây là ví dụ khác.
2) Phân tích SOS cho biểu thức $N=a^3+b^3+c^3+3abc-a^2(b+c)-b^2(c+a)-c^2(a+b)$
Giải: Cho $a=b$, thì $N=c(a-c)^2$
Cho $b=c$, thì $N=a(b-a)^2$
Cho $c=a$ , thì $N= b(c-b)^2$
Từ đây ta được hệ gồm 3 pt sau:
$S_a+S_b=c$
$S_b+S_c=a$
$S_c+S_a=b$
từ đây ta tính được $S_a= \dfrac{b+c-a}{2}$ ; $S_b=\dfrac{a+c-b}{2}$ ; $S_c=\dfrac{a+b-c}{2}$
Từ đây ta kết luận: $N= \dfrac{b+c-a}{2}(b-c)^2+\dfrac{a+c-b}{2}(c-a)^2+\dfrac{a+b-c}{2}(a-b)^2$.
Ví dụ 3)
Phân tích SOS cho biểu thức $A=a^4+b^4+c^4-abc(a+b+c)$.
Giải:
Cho $a=b$ ta có $A=(2a^2+2ac+c^2)(a-c)^2$
cho $b=c$ ta có $A=(2b^2+2ab+a^2)(a-b)^2$
cho $a=c$ ta có $A=(2c^2+2bc+b^2)(b-c)^2$
Từ đó ta được hệ gồm 3 pt sau
$S_a+S_b=a^2+b^2+ac+bc+c^2$
$S_b+S_c=b^2+c^2+ab+ac+a^2$
$S_c+S_a=c^2+a^2+bc+ab+b^2$
Từ đây ta tính được
$S_a=\dfrac{a^2+(b+c)^2}{2} ; S_b=\dfrac{b^2+(a+c)^2}{2} ; S_c=\dfrac{c^2+(a+b)^2}{2}$
Vậy $A= \dfrac{a^2+(b+c)^2}{2}(b-c)^2+\dfrac{b^2+(c+a)^2}{2}(c-a)^2 + \dfrac{c^2+(a+b)^2}{2}(a-b)^2$
Vì thời gian có hạn nên mình chỉ post vài ví dụ minh họa, mong các bạn góp ý. Nếu có sai sót xin bỏ qua!