vuhuutiep

Cho $V $là không gian n chiều trên $R, V* = Hom(V,R)$ là không gian đối ngẫu của $V$.(là tập hợp các toán tử tuyến tính của không gian$ V)$. Với mỗi tập con$ S$ của$ V $đặt $S^0 = ${$f \in V*| f(x)=0, \forall x \in S$}và với tập con $ T$ của $V*$, đặt $T^0 =${$x \in V| f(x)=0, \forall x \in T$}. Chứng minh rằng nếu $S $là không gian con của$ V$ thì $(S^0)^0 = S$

Mình có hai bài này, ở lớp mới làm xong, đưa lên cho mọi người cùng thảo luận:

Bài 1:

Cho A là ma trận vuông cấp n có tính chất: mỗi hàng và mỗi cột có đúng 1 số có trị tuyệt đối bằng 1, các số còn lại bằng 0.

Chứng minh rằng tồn tại số tự nhiên m sao cho $A^m =A^t$ với $A^t$ là ma trận chuyển vị của A.

Bài 2: 

Cho A là ma trận vuông cáp n thỏa mãn $A^n =0, A^{n-1} \neq 0 $.
Chứng minh răng tồn tại ma tận $P$ sao cho $P^{-1}AP=\begin{pmatrix}0&0&0&...&0&0\\1&0&0&...&0&0\\ 0&1&0&...&0&0\\...\\\\...\\ 0&0&0&...&1&0\end{pmatrix}$

Giả sử $n$ là 1 số nguyên dương và $f$ là hàm số xác định trên [0;1] bởi:
$$f(x) = \left\{ \begin{array}{l}
\dfrac{{{p^2}}}{{{n^2}}}\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,x \in [\dfrac{p}{n};\dfrac{{p + 1}}{n}]\\
p = 0,1,2....\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,khi\,\,\,x = 1
\end{array} \right.$$
Chứng minh rằng $f$ khả tích trên [0;1] và tính $ \int_{0} ^{1} f(x)dx$.

Gần hết hạn gửi bài rồi, chắc ko ai gửi nữa đâu
cho 2 tập hợp điểm A và B |A|=|B| =n một số diểm của A được nối với 1 số điểm của B, tìm số lớn nhất các đoạn thẳng được nối sao cho có đúng 1 cách chia chia 2n điểm trên thành n cặp mỗi cặp gồm 1 điểm của A, 1 điểm của B sao cho 2 điểm trong 1 cặp được nối với nhau.

Trong mặt phẳng toạ độ, các điểm nguyên được tô xanh hoặc đỏ và mỗi màu đều được tô cho vô hạn điểm, CMR tồn tại 1 hình gồm vô hạn diểm nguyên được tô cùng 1 màu và có tâm đối xứng.