datlich

Đề chọn HSG Toán 10, Tỉnh Hải Dương
Thời gian làm bài: 180 phút
Ngày thi: 26/ 4/ 2012


Câu 1 (2điểm)
a) Cho hàm số $y=x^2+2mx-3m$ và hàm số $y=-2x+3$ . Tìm m để đồ thị các hàm số đó cắt nhau tại hai điểm phân biệt và hoành độ của chúng đều dương.
b) Giải bất phương trình: $\sqrt{-x^2+8x-12}>10-2x$
Câu 2 (2 điểm)
a) Giải phương trình: $(4x^3-x+3)^3-x^3=\frac{3}{2}$
b) Giải phương trình: $2x^2-11x+23=4\sqrt{x+1}$
Câu 3 (2 điểm)
a) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho điểm $M(1;4)$. Đường thẳng d qua M, d cắt trục hoành tại A (hoành độ của A dương), d cắt trục tung tại B (tung độ của B dương). Tìm giá trị nhỏ nhất của diện tích tam giác OAB.
b) Trong mặt phẳng tọa độ Oxy cho đường tròn $( C ) : (x-2)^2+(y+3)^2=9$ và điểm $A(1;-2)$ . Đường thẳng $\Delta$ qua A và cắt $( C )$ tại hai điểm M, N. Tìm giá trị nhỏ nhất của độ dài đoạn thẳng MN.
Câu 4 (3 điểm)
a) Chứng minh rằng tứ giác lồi ABCD là hình bình hành khi và chỉ khi $AB^2+BC^2+CD^2+DA^2=AC^2+BD^2$
b) Tìm tất cả các tam giác ABC thỏa mãn: $\frac{1}{h^{2}_{a}}=\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}$ (trong đó $AB=c, AC=b$ ; đường cao qua A là $h_a$ ).
Câu 5 (1 điểm)
Cho a, b, c là các số thực dương. Chứng minh rằng: $\frac{2a}{b+c}+\frac{2b}{c+a}+\frac{2c}{a+b} \geq 3+ \frac{(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2}{(a+b+c)^2}$.