Ngo Thi Nguyen

Giả sử f liên tục trên [a, b], có đạo hàm cấp 2 trên (a, b), f(a) = f(b) = 0, c cho trước thuộc (a, b), đặt $g(x) = (x-a)(x-b)\dfrac{f(c )}{(c-a)(c-b)}$ , và h(x) = f(x)-g(x).
c/m: tồn tại d thuộc (a, b) : h"(d) = 0 . Từ đó suy ra $f(c ) = (c-a)(c-b)\dfrac{f"(d)}{2}$
thanks NangLuong đã hướng dẫn.

tớ chỉ xử lí đến đoạn đạo hàm cấp một thôi. Nếu mục đích là tính $f ©$ thì dừng ở đó được ko nhỉ. Ta có $h$ liên tục, $g(a)=g(b)=0$ suy ra $h(a)=h(b)$. Khi đó tồn tại $m$ thuộc $[a, b]$ sao cho $h(a)-h(b)=h'(m)(a-b)$. Suy ra $h'(m)=0.$ suy ra $f'(m)=g'(m)=\dfrac{(2m-a-b)f{©}}{(c-a)(c-b)}$ suy ra $f{©}.$ Bạn giải rùi thì đưa ra nhé.

Cho x và y là các số thực 0 sao cho $ a = \dfrac{{(x + 1)}}{y};b = \dfrac{{(y + 1)}}{x} $ đều là số nguyên
C/m: $ C = \dfrac{{x^2 + y^2 }}{{x^2 y^2 }} + \dfrac{1}{{x^n y^n }} $ cũng là số nguyên
b) tìm mọi n nguyên dương sao cho
$ D = x^n y^n + \dfrac{1}{{x^n y^n }} $ cũng là số nguyên

Bạn xem lại đề đi nhé. Với $x=3, y=2$ thì câu a ko đúng.

Tìm tất cả các cặp số $ p,q $ nguyên dương thỏa mãn :$ p^3-q^3=p+q $

Đặt $u=p+q, v=p-q>0$ thì phương trình trở thành $v(3u^2+v^2)=4u \Leftrightarrow 3vu^2-4u+v^3=0.$ Ta thấy nếu tồn tại $p, q$ thỏa mãn thì phương trình sau có nghiệm ẩn $u$ $ \Leftrightarrow \Delta =4-3v^4\geq 0 \Leftrightarrow v^4 \leq \dfrac{4}{3}$ hay $0<(p-q)^4 \leq 1 $ (do $p, q$ nguyên). Suy ra $0<p-q \leq 1$ suy ra $p=q+1.$ Thay trở lại phương trình đầu ta có $(q+1)^3-q^3=q+1+q \Leftrightarrow 3q^2+q=0$. Pt cuối này ko có nghiệm $q$ thỏa mãn. KL: ko tồn tại $p, q.$

Nhân đây tạo thêm box mới cho mùa thi TSDH năm 2008

Hai bài toán trong đề dự bị đại học ; tuy nhiên học sinh THCS thì thấy 2 bài toán này chắc ngỡ ngàn lắm vì nó chẳng phù hợp với thi đại học

Bài 1 : Cho x;y là hai số dương . CMR: $( 1 +x)(1+\dfrac{y}{x})(1+\dfrac{9}{\sqrt{y}})^2 \ge 256 $

Bài 2 : Cho x;y là hai số dương thỏa mãn$ x + y = \dfrac{5}{4}. CMR: \dfrac{4}{x} + \dfrac{1}4y \ge 5 $

Bài 1 có thể dùng bdt côsi cho $4$ số dương: Ta có $3(1+x)=3+x+x+x \geq 4\sqrt[4]{3x^{3}};$ $ 1+\dfrac{y}{x}=1+\dfrac{y}{3x}+\dfrac{y}{3x}+\dfrac{y}{3x}\geq 4\sqrt[4]{\dfrac{y^3}{27x^3}};$ $(1+\dfrac{9}{\sqrt{y}})^2=(1+\dfrac{3}{\sqrt{y}}+\dfrac{3}{\sqrt{y}}+\dfrac{3}{\sqrt{y}})^2\geq (4\sqrt[4]{\dfrac{27}{(\sqrt{y})^3}})^2$. Sau đó lấy tích theo từng vế suy ra ok. Dấu bằng xảy ra khi $x=3, y=9.$