coban

Ta có $a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2\ge\dfrac{1}{3}(ab+bc+ca)^2\ge ab^2+bc^2+ca^2$.dấu bằng xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$.

nhầm chỗ nào vậy bạn??

Đề bài là $\sum\dfrac{a}{a+b}$ chứ đâu phải là $\sum\dfrac{a}{b+c}$

$3\sum \left ( \frac{a}{b+c} \right )^{2}\geq \left ( \sum \frac{\left | a \right |}{\left | b+c \right |} \right )^{2}$

Mà $\left | a+b \right |\leq \left | a \right |+\left | b \right |$

Nên$\left (\sum \frac{\left | a \right |}{\left | b+c \right |} \right )^{2}\geq \left ( \sum \frac{\left | a \right |}{\left | b \right |+\left | c \right |} \right )^{2}$

Do đó chỉ cần chứng minh$\sum \frac{\left | a \right |}{\left | b \right |+\left | c \right |} \geq \frac{3}{2}$

Tới đây chắc dễ rồi (dùng bdt Nesbit)

Bạn nhầm đề bài rồi 

Ta chỉ cần chứng minh bất đẳng thức trong trường hợp $a,b,c>0$

Khi đó đặt $(\frac{a}{b},\frac{b}{c},\frac{c}{a})=(x,y,z)\Rightarrow xyz=1$

BDDT trở thành $\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}+\frac{1}{(1+z)^2}\geqslant \frac{3}{4}$

Biến đổi tương đương ta có bất đẳng thức sau 

                   $\frac{1}{(1+x)^2}+\frac{1}{(1+y)^2}\geqslant \frac{1}{1+xy}=\frac{z}{1+z}=\frac{z^2+z}{(1+z)^2}$

   

 

 

 

Bạn có thể nói rõ là biến đôi tương đương như thế nào không theo mình hiểu biến đổi tương đương ở đây là:

$\dfrac{1}{(1+x)^2}+\dfrac{1}{(1+y)^2}\ge\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{(1+z)^2}=\dfrac{3}{4}-\dfrac{1}{\left( 1+\dfrac{1}{xy}\right)^2}=\dfrac{3}{4}-\dfrac{x^2y^2}{(xy+1)^2}\le\dfrac{1}{xy+1}$