lamdaika

cho a, b, c > 0 và $\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geqslant 1$

Chứng minh rằng $\frac{a+b}{\sqrt{ab+c}}+\frac{b+c}{\sqrt{bc+a}}+\frac{c+a}{\sqrt{ca+b}}\geq 3\sqrt[6]{abc}$

Cho 6 đường tròn đôi một không cắt nhau mà bán kính mỗi đường tròn không nhỏ hơn 1, không có đường tròn nào nằm trong đường tròn khác. Chứng minh rằng nếu có một đường tròn nào đó cắt cả 6 đường tròn đã cho thì bán kính của nó cũng không nhỏ hơn 1.

                                                                                                  Trích đề thi IGO  hình học Iran 2017:  (4th IGO hard 7/9/2017)

$\left (a+\frac{1}{a} \right )^{2}+\left ( b+\frac{1}{b} \right )^{2}\geqslant \frac{25}{2}$

với a, b > 0 và a + b =1

Cho x,y,z nguyên dương và xyz=1. Chứng minh:

$\frac{x^{2}}{(xy+2)(2xy+1)}+\frac{y^{2}}{(yz+2)(2yz+1)}+\frac{z^{2}}{(zx+2)(2zx+1)}\geq \frac{1}{3}$