minhhung_2811

Bài 3

$\sin A = \cos B + \cos C$

$\Leftrightarrow 2\sin \dfrac{A}{2}\cos \dfrac{A}{2} = 2\cos \dfrac{{B + C}}{2}\cos \dfrac{{B - C}}{2}$

$\Leftrightarrow \sin \dfrac{A}{2}\left( {\cos \dfrac{A}{2} - \cos \dfrac{{B - C}}{2}} \right) = 0$

(vì $\sin \dfrac{A}{2} = \cos \dfrac{{B + C}}{2}$)

Khi đó $\left[ \begin{array}{l}\sin \dfrac{A}{2} = 0 \\ \cos \dfrac{A}{2} = \cos \dfrac{{B - C}}{2} \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}A = 0 \\ A = B - C \\ A = C - B \\ \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l}B = A + C \\ C = A + B \\ \end{array} \right.$

(vì $0 < A,B,C < \pi$)

Do đó, tam giác $ABC$ vuông tại $B$ hoặc tại $C$

Bài 1
Đề bài có vấn đề chút xíu rồi. Đề đúng là:

Tam giác $ABC$ thỏa mãn $a\left( {1 - 2\cos A} \right) + b\left( {1 - 2\cos B} \right) + c\left( {1 - 2\cos C} \right) = 0$ thì tam giác $ABC$ đều

$a\left( {1 - 2\cos A} \right) + b\left( {1 - 2\cos B} \right) + c\left( {1 - 2\cos C} \right)$

$=\left( {a + b + c} \right) - 2\sum {a\cos A}$

$= \left( {a + b + c} \right) - 2\sum {\dfrac{{a{b^2} + a{c^2} - {a^3}}}{{2bc}}}$

$= \left( {a + b + c} \right) - \sum {\dfrac{{{a^2}{b^2} + {a^2}{c^2} - {a^4}}}{{abc}}}$

$= \left( {a + b + c} \right) - \dfrac{{2\left( {{a^2}{b^2} + {b^2}{c^2} + {c^2}{a^2}} \right) - \left( {{a^4} + {b^4} + {c^4}} \right)}}{{abc}}$

$= \left( {a + b + c} \right) - \dfrac{{4{b^2}{c^2} - {{\left( {{a^2} - {b^2} - {c^2}} \right)}^2}}}{{abc}}$

$= \left( {a + b + c} \right) - \dfrac{{\left( {2bc - {a^2} + {b^2} + {c^2}} \right)\left( {2bc + {a^2} - {b^2} - {c^2}} \right)}}{{abc}}$

$= \left( {a + b + c} \right) - \dfrac{{\left[ {{{\left( {b + c} \right)}^2} - {a^2}} \right]\left[ {{a^2} - {{\left( {b - c} \right)}^2}} \right]}}{{abc}}$

$= \left( {a + b + c} \right) - \dfrac{{\left( {a + b + c} \right)\left( { - a + b + c} \right)\left( {a - b + c} \right)\left( {a + b - c} \right)}}{{abc}}$

Biểu thức ban đầu $= 0$ nên

$\left( {a + b + c} \right) - \dfrac{{\left( {a + b + c} \right)\left( { - a + b + c} \right)\left( {a - b + c} \right)\left( {a + b - c} \right)}}{{abc}} = 0$

$\Leftrightarrow abc = \left( { - a + b + c} \right)\left( {a - b + c} \right)\left( {a + b - c} \right)$

Ta lại chứng minh được bất đẳng thức:

$abc \ge \left( { - a + b + c} \right)\left( {a - b + c} \right)\left( {a + b - c} \right)$

với $a$, $b$, $c$ là độ dài 3 cạnh tam giác.

Dấu $ "=" $ xảy ra khi tam giác $ABC$ đều

$Q.E.D$