binhnb

Ví dụ 2. Chứng minh rằng không tồn tại hai số nguyên dương sao cho tổng và hiệu 2 bình phương của chúng là 1 số chính phương
Lời giải. Bài toán đã cho tương đương với hệ phương trình (2.2.11)
vô nghiệm trong Z
Giả sử phản chứng rằng hệ phương trình đã cho có nghiệm trong Z. Xét cặp số (x,y) sao cho giá trị $x^2 +y^2$ nhỏ nhất. Ta dễ thấy gcd(x,y)=1. Thực hiện phép cộng đại số, ta được (2.2.12)
do đó z và w cùng chẵn hoặc lẻ. Ta có z + w và z - w là 2 số chẵn
Viết lại (2.2.12) dưới dạng
...
Mà,...Thật vậy, nếu
...
thì...Từ phương trình thứ nhất trong (2.2.11), ta thu được...,trái với kết luận gcd(x,y)=1
Theo định lí 2.2.1, ta có
...
hay
...
Do $2y^2=x^2-w^2$, từ một trong 2 trường hợp trên, ta có:
...
Do đó
...
Đặt y=2k (k dương),và
$k^2=mn(m+n)(m-n)$
Do m và n không có ước chung dương khác 1 và m + n lẻ, các số nguyên m,n,m+n, m-n các cặp lần lượt đều không có ước chung dương khác 1, vì vậy, từ (2.2.13) ta đặt $m=a^2, n=b^2, m+n-c^2, m-n=d^2$ với a,b,c,d nguyên dương. Nhưng $a+2 +b^2=c^2$ và $a^2-b^2=d^2$, nghĩa là bộ bốn (a,b,c,d) là nghiệm của hệ (2.2.11). Hơn nữa,
...
Trái với khẳng định về sự nhỏ nhất của $x^2 +y^2$
P/S: Phew, có gì sai mong bạn bỏ qua, tối mình hơi buồn ngủ, dịch có thể không chính xác. À, mấy cái .... là phương trình đấy nhé, mình hơi lười gõ

Cảm ơn bạn vì bài viết

$13860=2^2.3^2.5.7.11$
=> m/n có dạng $ 2^a.3^b.5^c.7^d.11^e (-2 \leq a,b \leq 2;-1 \leq c,d,e \leq 1)$
-> số p/s là: 5.5.3.3.3=675 số!!!

Hinh nhu la sai rui p/s la 16 co.nhung du sao cung cam on nha

[quote name='girl9xpro' date='May 8 2011, 04:09 PM' post='260736']
Bài 1:
Cho $P=a^2+b^2+c^2+d^2+ac+bd $ trong đó $ad-bc=1$
CMR : $P \geq \sqrt{3}$

Ta có:$ (ad - bc)^2+(ac+bd)^2 $ = $ (a^2+b^2)(c^2+d^2) $
Vì ad-bc=1 $ (a^2+b^2)(c^2+d^2)=1+(ac+bd)^2 $
Áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho các số không âm ta có
$ a^2+b^2+c^2+d^2$ $\geq$ $ 2\sqrt{(a^2+b^2)(c^2+d^2)} $ = $2\sqrt{1+(ac+bd)^2}$
$ a^2+b^2+c^2+d^2+ac+bd$ $\geq$ $2\sqrt{1+(ac+bd)^2}+ac+bd$
P $\geq$ $2\sqrt{1+(ac+bd)^2}+ac+bd$
Sau đó bình phương P rồi chứng minh $ P^2 $ $\geq $ 3

TA Cồ:
$\begin{array}{l}A\vec B + A\vec D = A\vec C \Rightarrow A{B^2} + A{D^2} + 2AB.AD.c{\rm{os}}(A\vec B;A\vec D) = A{C^2}\\D\vec A + D\vec C = D\vec B \Rightarrow D{A^2} + D{C^2} + 2DA.DC.c{\rm{os}}(D\vec A;D\vec C) = B{D^2}\\ \Rightarrow A{B^2} + A{D^2} + D{A^2} + D{C^2} + 2AB.AD.c{\rm{os}}(A\vec B;A\vec D) + 2DA.DC.c{\rm{os}}(D\vec A;D\vec C) = A{C^2} + B{D^2}\\\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}{AD = BC}\\{AB = DC}\\{c{\rm{os}}(A\vec B;A\vec D) = - c{\rm{os}}(D\vec A;D\vec C)}\end{array}} \right.\\ \Rightarrow DPCM\end{array}$

Giải bằng kiến thức lớp 9 ấy ạ!

Cũng như bạn Assign em góp ý diễn đàn cần thu hút nhiều bạn yêu toán và chuyên toán hơn với những bài viết chất lượng.
Còn về mục phần chia các mục thì em rất thích ở VMF