maths_vmf

Chứng minh BĐT Schur:
Cho $ a,b,c$ là ba số thực không âm, khi đó:
$ a^3+b^3+c^3+3abc \ge ab(b+c)+bc(b+c)+ca(c+a)$.
CM: Do BĐT trên đối xứng nên ta có thể giả sử $a \ge b \ge c$
Bất đẳng thức tương đương với:
$a(a-b)(a-c)+b(b-c)(b-a)+c(c-a)(c-b)
=(a-b)(a^2-ac-b^2+bc)+c(c-a)(c-b)
=(a-b)^2(a+b-c)+c(c-a)(c-b) \ge 0$
Vậy ta có đpcm