tuilatrai123

Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix} 2x &+2y &=5 \\ xy& =1 & \end{matrix}\right.$

Ta có thể áp đụng định lí Viet đảo ngay
x, y là nghiệm của phương trình
$A^{2}-2.5A+1=0 <=>2A^{2}-5A+2=0$ <=> $A=0.5$ hoặc $ A=2$
Vậy x=0.5 và y=2 hoặc x=2 và y=0.5

Bài 487:Cho $a,b,c\in R^{+}$.Chứng minh:
a)$$\frac{a}{(b+c)^2}+\frac{b}{(a+c)^{2}}+\frac{c}{(a+b)^{2}}\geq \frac{9}{4(a+b+c)}$$
Bài 487 a)Em dùng Bunhiacopxki.Ta có:
$<=>(a+b+c)[\frac{a}{(b+c)^{2}}+\frac{b}{(c+a)^{2}}+\frac{c}{(a+b)^{2}}]\geq \frac{9}{4}$
Áp dụng Bunhiacopxki, ta có:
$VT\geq (\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})^{2}\geq (\frac{3}{2})^{2}$
Em vừa mới tìm ra cách khác
$\frac{a(a+b+c)}{(b+c)^{2}}+\frac{b(a+b+c)}{(c+a)^{2}}+\frac{c(a+b+c)}{(a+b)^{2}}\geq \frac{9}{4}$
$<=>\frac{a^{2}}{(b+c)^{2}}+\frac{b^{2}}{(c+a)^{2}}+\frac{c^{2}}{(a+b)^{2}}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{9}{4}$
BDT trên đúng vì
$\frac{a^{2}}{(b+c)^{2}}+\frac{b^{2}}{(c+a)^{2}}+\frac{c^{2}}{(a+b)^{2}}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{1}{3}(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b})^{2}+\frac{a}{b+c}+\frac{b}{c+a}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{4}+\frac{3}{2}=\frac{9}{4}$

Bài 342:
cho 3 số thực dương a,b,c và a+b+c=3. Chứng minh rằng $\sum \frac{a}{ab+b^{3}}\geq \frac{3}{2}$

$\sum \frac{a}{ab+b^{3}}=\sum (\frac{1}{a}-\frac{b}{a+b^{2}})\geq \sum \frac{1}{a}+3-3-\sum \frac{b}{2b\sqrt{a}}\geq 2\sum \frac{1}{\sqrt{a}}-\frac{1}{2}\sum \frac{1}{\sqrt{a}}-3=\frac{3}{2}\sum \frac{1}{\sqrt{a}}-3\geq \frac{3}{2}(\frac{9}{\sqrt{a}+\sqrt{b}+\sqrt{c}})-3\geq \frac{3}{2}(\frac{9}{\sqrt{3(a+b+c)}})-3=\frac{3}{2}$

Lần đầu mình làm bài, có gí sai sốt thông cảm nha