leminh.a0

Ai xét nhanh giùm em cái này hội tụ hay phân kỳ:

$ \int _{0}^{\dfrac{\pi}{2}} \dfrac{ln(sinx)}{\sqrt{x}}dx$

Mình thử giải như vậy xem có đúng không:
$I=\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\dfrac{{\ln \left( {\sin x} \right)}}{{\sqrt x }}} dx = 2\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\ln \left( {\sin x} \right)d\sqrt x }$
$ = \left. {\left( {2\sqrt x \ln (\sin x)} \right)} \right|_0^{\dfrac{\pi }{2}} - 2\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\dfrac{{\sqrt x }}{{\tan x}}} dx = - 2\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} (\sqrt t \ln (\sin t)) - 2I_1$
$\mathop {\lim }\limits_{t \to 0} \left( { - 2\sqrt t \ln (\sin t)} \right) = 0 $

$\dfrac{{\sqrt x }}{{\tan x}} \sim \dfrac{{1}}{{\sqrt x }}$ khi $x \to 0 $. Do: $\int\limits_0^{\dfrac{\pi }{2}} {\dfrac{{dx}}{{\sqrt x }}}$ hội tụ nên $I_1$ hội tụ
Vậy tích phân trên hội tụ