phạm thị ninh

$LHS:=\dfrac{2xy\(x+y\)+ 2yz\(y+z\) + 3xz\(x+z\)}{(x+y)(y+z)(z+x)}$

$LHS-\dfrac{5}{3}:=\dfrac{6xy\(x+y\)+ 6yz\(y+z\)+9 xz\(x+z\) -5\[xy\(x+y\)+ yz\(y+z\)+xz\(x+z\)+2xyz\]}{(x+y)(y+z)(z+x)}=\dfrac{MS}{TS}$

$MS:=xy\(x+y\)+ yz\(y+z\)+4 xz\(x+z\) -10xyz\ge 2y^2\sqrt{xz}+8xz\sqrt{zx}-8xyz=2\sqrt{xz}\(y-2\sqrt{xz}\)^2\ge 0$

$\righ Done!!$

Bác nào giải dùm bài toán sau với, cám ơn nhiều

Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức
$P = \dfrac{{x^3 y^3 }}{{\left( {x + yz} \right)\left( {y + zx} \right)\left( {z + xy} \right)^2 }}$
Với x, y, z là các số dương thỏa mãn: x + y +1 =z

đặt $ t=\sqrt{xy}$
ta có $z=x+y+1\geq 2\sqrt{xy}+1=2t+1$
ta có $(x+yz)(y+zx)\geq (\sqrt{x}.\sqrt{y}+\sqrt{yz}.\sqrt{zx})^2=xy(z+1)^2\geq t^2(2t+1+t)^2$
lại có $(z+xy)^2\geq(2t+1+t^2)^2=(t+1)^4$
$=> P\leq \dfrac{t^6}{[4t^2(t+1)^2][(t+1)^4]}=\dfrac{t^4}{4(t+1)^6}$
ta có $t+1=\dfrac{t}{2}+\dfrac{t}{2}+1\geq 3\sqrt[3]{\dfrac{t^2}{4}}$
$=> P\leq \dfrac{t^4}{4(3\sqrt[3]{\dfrac{t^2}{4}})^6}=\dfrac{4}{729}$

Cho $\ x,y,z $ thỏa mãn : $\sum \sqrt{a^2+b^2}=2006 $ .
Tìm Min của H= $\sum \dfrac{a^2}{b+c} $

$\text{Dat}\left{\sqrt{a^2+b^2}=x\geq 0\\{\sqrt{b^2+c^2}=y\geq 0\\{\sqrt{c^2+a^2=z} \geq 0$
$\Rightarrow \left{a^2=\dfrac{x^2+z^2-y^2}{2}\\{b^2=\dfrac{x^2+y^2-z^2}{2}\\{c^2=\dfrac{y^2+z^2-x^2}{2}\\{x+y+z=2006$
Ta có $b+c\leq \sqrt{2(b^2+c^2)}=\sqrt{2y^2}=y\sqrt2$
$\Rightarrow \dfrac{a^2}{b+c}\geq \dfrac{x^2+z^2-y^2}{2y\sqrt2}$
Xây dựng các bất đẳng thức tương tự
$\Rightarrow \sum_{cyc}\dfrac{a^2}{b+c}\geq \dfrac{1}{2\sqrt{2}}(\dfrac{x^2}{y}+\dfrac{y^2}{z}+ \dfrac{z^2}{x})+\dfrac{1}{2\sqrt2}(\dfrac{z^2}{y}+ \dfrac{y^2}{x}+\dfrac{x^2}{z})-\dfrac{1}{2\sqrt2}(x+y+z)$
$ \geq \dfrac{1}{2\sqrt2}(\dfrac{(x+y+z)^2}{x+y+z})+\dfrac{1}{2\sqrt2}(\dfrac{(z+y+x)^2}{x+y+z})-\dfrac{1}{2\sqrt2}(x+y+z)=\dfrac{1}{2\sqrt2}(x+y+z)+\dfrac{1}{2\sqrt2}(x+y+z)-\dfrac{1}{2\sqrt2}(x+y+z)=\dfrac{x+y+z}{2\sqrt2}= \dfrac{2006}{2\sqrt2}$

Cho $\ a ,b ,c $ là các số thực dương sao cho $\ a+b+c =1 $ . CMR :
$\ 5( a^2 +b^2+c^2 ) \le 6( a^{3} + b^{3} + c^{3} )+1 $

áp dụng bdt schur ta có
$9abc \geq (a+b+c)[4(ab+bc+ca)-(a+b+c)^2]$
$a^3+b^3+c^3=(a+b+c)^3-3(ab+bc+ca)(a+b+c)+3abc$
từ đây dễ dàng suy ra dpcm