Tìm kiếm
Nam
Cho a, b, c là các số không âm thỏa a + b + c = 3. CMR: $a^k+b^k+c^k \ge ab + bc + ca$ với mọi $k \ge \frac{{2\ln 3 - 3\ln 2}}{{\ln 3 - \ln 2}}$
cảm ơn bạn ,,,,tớ nghĩ mãi không ra,,,,,,,
Theo Holder ;
$(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c})^3(a+b+c)^{5}\geq (a^{\frac{3}{4}}+b^{\frac{3}{4}}+c^{\frac{3}{4}})^{8}$
Ta sẽ CM : $(a^{\frac{3}{4}}+b^{\frac{3}{4}}+c^{\frac{3}{4}})^{8}\geq 3^{5}(ab+bc+ca)^{3}$
Đặt $\sqrt[4]{a}=x,\sqrt[4]{b}=y,\sqrt[4]{c}=z$
BĐT $\Leftrightarrow (x^3+y^3+z^3)^{8}\geq 3^5(x^4y^4+y^4z^4+z^4x^4)^{3}$
Đây là BĐT thuần nhất nên ta can bỏ qa GT ban đầu để chuẩn hóa cho : $x^3+y^3+z^3= 3$
Khi đó ta cần CM : $x^4y^4+y^4z^4+z^4x^4\leq 3$
Theo AM-GM : $x^3+y^3+1\geq 3xy\Rightarrow x^3y^3(x^3+y^3+1)\geq 3x^4y^4$
Do đó ta cần CM : $\sum x^3y^3(x^3+y^3+1)\leq 9$ khi $x^3+y^3+z^3= 3$
Ta có thể đua bài này về hệ qả qen thuộc của Schur :
Vs $a+b+c= 3$. CMR : $\sum ab(a+b+1)\leq 9$
Đến đây dễ rồi
cảm ơn bạn nhiêu nha..tớ nghĩ mãi không ra
