Đến nội dung

PSW

PSW

Đăng ký: 08-05-2011
Offline Đăng nhập: 14-02-2024 - 12:31
****-

#692785 $\Delta _A, \Delta _B, \Delta _C$ đồng quy

Gửi bởi PSW trong 10-09-2017 - 13:03

Bài toán này thuộc Gameshow NHỮNG BÀI TOÁN TRONG TUẦN. Bài toán đã được công bố lại cách đây 1 tuần nhưng chưa ai giải được. BTC đã đặt hoa hồng hi vọng icon_smile_rose.gif cho bài toán này.

Hoa hồng hi vọng icon_smile_rose.gif sẽ mang lại 30 điểm cho người đầu tiên giải đúng được bài toán này. Nếu hết ngày 14/09 mà vẫn không có ai giải được, BTC sẽ công bố bài toán khác, tuy nhiên hoa hồng hi vọng icon_smile_rose.gif sẽ vẫn tồn tại cho đến khi có người giải được bài toán này.




#620497 Tìm tất cả cặp số nguyên dương (a;b) sao cho $ \dfrac{a^b+b...

Gửi bởi PSW trong 16-03-2016 - 09:43

Bài toán này thuộc Gameshow NHỮNG BÀI TOÁN TRONG TUẦN. Bài toán đã được công bố lại nhiều ngày nhưng chưa ai giải được. BTC đã đặt hoa hồng hi vọng   @};- cho bài toán này.




#613229 Chứng minh $a_{ij}^{(p)} \; (i,j=1,2,...,n)...

Gửi bởi PSW trong 06-02-2016 - 11:35

Gọi A là ma trận kề biểu diễn đồ thị G. Kí hiệu $a_{ij}^{(p)}$ là các phần tử của ma trận $A^p=A.A...A$ (p lần). Chứng minh rằng $a_{ij}^{(p)} \; (i,j=1,2,...,n)$ là số các đường đi khác nhau từ đỉnh $i$ đến $j$ độ dài $p$ qua $p-1$ đỉnh trung gian.




#579333 $ r<\dfrac{AB.CD}{2AB+2CD}$

Gửi bởi PSW trong 07-08-2015 - 11:57

Bài toán này thuộc Gameshow NHỮNG BÀI TOÁN TRONG TUẦN. Bài toán đã được công bố lại nhiều ngày nhưng chưa ai giải được. BTC đã đặt hoa hồng hi vọng  @};- cho bài toán này.

Nếu hết ngày 09/08 mà vẫn không có ai giải được hay phủ định được, BTC sẽ công bố bài toán khác, tuy nhiên hoa hồng hi vọng  @};- sẽ vẫn tồn tại cho đến khi có người giải được hay phủ định được bài toán này




#574840 [Archive] Cập nhật list Những bài toán trong tuần (301-400)

Gửi bởi PSW trong 23-07-2015 - 17:52

Chào các bạn,

BQT lập topic này để cập nhật list Những bài toán trong tuần cho các bạn tiện theo dõi. Các bạn click trực tiếp vào $ \boxed{\text{Bài toán i}}, i \in \{1,..,n\}, n \in \mathbb{N}, n \geq 1 $ để trao đổi về bài toán.
Các bài toán có hoa hồng hi vọng   @};- là các bài toán đã đăng lâu mà chưa ai giải được, người giải được đầu tiên sẽ được nhiều điểm hơn bình thường. Các bài toán màu đỏ là các bài chưa được giải quyết trọn vẹn. Cảm ơn các bạn.

 

$\boxed{\text{Bài toán 301}}$

Cho $n\in \mathbb{N},n\ge 3,f:\mathbb{R}^2\to \mathbb{R}$ sao cho với mọi $n-$ giác đều $A_1A_2...A_n$ ta luôn có

$$f(A_1)+f(A_2)+\cdots+f(A_n)=0$$

(nếu $A_i(x_i;y_i)$ thì ta kí hiệu $f(A_i):=f(x_i;y_i)$). Chứng minh $f\equiv 0$.

 

 

$\boxed{\text{Bài toán 302}}$

Tìm ước chung lớn nhất của $$ a^2b+b^2c+c^2a, ab^2+bc^2+ca^2,  a+b+c$$ với $a,b,c \in \mathbb{Z},a,b,c>1$ và $a,b,c$ nguyên tố cùng nhau.

 

Cho tứ diện $ABCD$. Gọi $r$ là bán kính mặt cầu nội tiếp tứ diện. Chứng minh rằng:
$$ r<\dfrac{AB.CD}{2AB+2CD}$$
 
Tìm số nguyên dương $n \ge 2011$ nhỏ nhất sao cho phương trình $$x^4+y^4+z^4+w^4-4xyzw=n$$ có nghiệm nguyên dương.
 
Tính tích phân

$$\int_{0}^{+\infty }\frac{x^{2}}{x^{4}-x^{2}+1}dx$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 306}}$

Cho số phức $ z $ thỏa mãn $ z + \dfrac{1}{z}=1 $

Hãy tính giá trị $ S=z+z^2+z^3+..................+z^n+\dfrac{1}{z}+\dfrac{1}{z^2}+\dfrac{1}{z^3}+............+\dfrac{1}{z^n} $

 

$\boxed{\text{Bài toán 307}}$

Cho dãy số nguyên $a_{n}$ $n \in N$ thỏa mãn:
$$\left\{\begin{matrix}a_{o}=1 & \\ a_{n}=a_{n-1}+a_{[\frac{n}{3}]} & \end{matrix}\right.$$
Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố $p\leq 13$, tồn tại vô số số $k$ nguyên dương thỏa mãn $a_{k}$ chia hết cho $p$
 
Giải phương trình nghiệm nguyên $y^2=x^3-432$
 
Chứng minh rằng $\tan^2 \alpha, \tan^2 \left( \frac{\pi}{3}-\alpha\right), \tan^2 \left(\frac{\pi}{3}+\alpha\right)$ là nghiệm của phương trình sau:

$$x^3-\left(9\tan^2 3 \alpha+6\right)x^2+\left(6 \tan^2 3\alpha+9\right) x-\tan ^2 3 \alpha=0$$

 
Cho dãy số dương $\{u_n\},n\in \mathbb{N}$ thỏa mãn các điều kiện

1. $u_{n+1}\le u_n+u_n^2$.
2. Tồn tại hằng số $M>0$ sao cho $\sum\limits_{k=1}^n u_k\le M \forall n\in \mathbb{N}$.

Chứng minh rằng $\lim\limits_{n\to +\infty}n.u_n=0$

 

$\boxed{\text{Bài toán 310}}$

Cho các số thực dương thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1$ . Chứng minh rằng

$$\sum \sqrt{\frac{ab+2c^2}{1+ab-c^2}}\geq ab+bc+ca+2$$



#558038 [Archive] Cập nhật list Những bài toán trong tuần (201-300)

Gửi bởi PSW trong 06-05-2015 - 09:21

$\boxed{\text{Bài toán 281}}$
Giả sử rằng đa thức $ P(x) $ có hệ số nguyên, nhận giá trị bằng 2 ứng với 4 giá trị $x$ thuộc $\mathbb{Z}$. Chứng minh $ P(x) $ không thể nhận các giá trị 1,3,5,7,9 với mọi $x$ thuộc $\mathbb{Z}$

$\boxed{\text{Bài toán 282}}$
Có tồn tại hay không tứ diện với tọa độ các đỉnh là số nguyên ,và diện tích của bốn mặt là số vô tỷ ?

$\boxed{\text{Bài toán 283}}$
Chứng minh rằng mọi số nguyên dương đều có một bội mà chỉ bao gồm các chữ số 0 và 7.

$\boxed{\text{Bài toán 284}}$
Cho hình thang ABCD biết $AD=3BC,AB$ đi qua điểm $M(-12;0), C(2 ; -5),AD$ đi qua $N(-3;5)$. Viết phương trình đường thẳng $AB, AD$ biết diện tích ABCD là $50, AB$ không song song với $Ox,Oy$

$\boxed{\text{Bài toán 285}}$
Cho đường tròn $\left(C\right): x^{2} + y^{2}-6x+2y-15=0$.Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc đường thẳng $d: 3x-2y-6=0$ sao cho từ $M$ kẻ tới $\left(C\right)$ hai tiếp tuyến $MA,MB$ ($A,B$ là tiếp điểm) mà $AB$ đi qua điểm $C(0;1)$.

$\boxed{\text{Bài toán 286}}$
Xác định tọa độ các đỉnh của tam giác $ABC$ vuông cân tại $A$. Biết cạnh huyền nằm trên đường thẳng $d: x+7y-31=0$. Điểm $N(7;7)$ thuộc đường thẳng $AC$, điểm $M(2;-3)$ thuộc đường thẳng $AB$ và nằm ngoài đoạn $AB$.

$\boxed{\text{Bài toán 287}}$

Cho $x,y,z$ là các số thực dương thỏa mãn $xy+yz+xz=671$.CMR :
$$\sum \frac{x^2-yz}{x^2-yz+2013}\geq 0$$

$\boxed{\text{Bài toán 288}}$
Chứng minh:
\[\sum_{n = 0}^{\infty} \dfrac{C_{2n}^{n} }{2^{2n}} a^{3n} = \dfrac{1}{\sqrt{1 - a^3}}\]
với 0 < a < 1 và $C_{2n}^{n}$ là tổ hợp chập $n$ của $2n$.

$\boxed{\text{Bài toán 289}}$
1. Đếm số cách chia $n$ cái kẹo (giống nhau) thành $3$ phần không tính đối xứng.
Các cách chia $(a,b,c)$ và $(c,b,a)$ được xem là như nhau. Các phần có thể rỗng

2. Giả sử có 3 mệnh giá tiền là $1$ đồng, $2$ đồng và $4$ đồng. Tính số cách đổi $2n$ đồng ra các loại mệnh giá trên.0


$\boxed{\text{Bài toán 290}}$
Cho tam giác $ABC$. Trên $BC$ lấy các điểm $D, E$ sao cho $\widehat{BAD}=\widehat{CAE}$. Đường tròn nội tiếp các tam giác $ABD$ và $ACE$ tiếp xúc BC tương ứng tại $M$ và $N$. Chứng minh rằng:
$$\dfrac{1}{MB}+\dfrac{1}{MD}=\dfrac{1}{NE}+\dfrac{1}{NC}$$



---


#553861 $ \left | \sum_{i=1}^n z_i \right | \cdot...

Gửi bởi PSW trong 13-04-2015 - 23:37

Cho $z_1,z_2,...,z_n$ là số phức thỏa $|z_i-1|\le r$ với mọi $r\in (0;1)$, Chứng minh:

\[ \left | \sum_{i=1}^n z_i \right | \cdot \left | \sum_{i=1}^n \frac{1}{z_i} \right | \geq n^2(1-r^2).\]




#553860 Chứng minh rằng mọi số nguyên dương đều có một bội mà chỉ bao gồm các chữ số...

Gửi bởi PSW trong 13-04-2015 - 23:28

Chứng minh rằng mọi số nguyên dương đều có một bội mà chỉ bao gồm các chữ số 0 và 7. Ví dụ: 2 có bội là 70, 3 có bội là 777.




#541639 [Archive] Cập nhật list Những bài toán trong tuần (201-300)

Gửi bởi PSW trong 23-01-2015 - 21:37

$\boxed{\text{Bài toán 271}}$ Cho $a,b,c$ thỏa mãn $0\leq a\leq b\leq c\leq 1$. Tìm $max$ của
$$P=a^2(b-c)+b^2(c-b)+c^2(1-c)$$

$\boxed{\text{Bài toán 272}}$ @};-
Cho tứ diện $S.ABC$ có $SA=a, SB=b, SC=c$ đôi một vuông góc với nhau. Lấy điểm $M$ nằm trong tam giác $ABC$ Gọi $u, v, w$ lầ lượt là khoảng cách từ $M$ đến $SA, SB, SC$. Chứng minh rằng :
$$u^2+v^2+w^2 \ge \dfrac{2(abc)^2}{a^2b^2+b^2c^2+c^2a^2}$$.

$\boxed{\text{Bài toán 273}}$ Với mỗi số nguyên dương $n$ gọi $S$ là tập tất cả các đa thức $P(x)$ bậc $n$ sao cho các hệ số của $P(x)$ đều nguyên dương và không vượt quá $n!$. Một đa thức $P(x)$ thuộc S gọi là 'đẹp' nếu với mọi số nguyên dương $k$ tồn tại vô hạn số trong dãy $P(1);P(2);..$ nguyên tố cùng nhau với $k$.
Cmr : Có tối thiểu $71$% đa thức trong $S$ là 'đẹp'.

$\boxed{\text{Bài toán 274}}$
Cho $x,y,z$ là các số nguyên dương và $6xyz+30xy+21xz+2yz+105 x+10y+7z = 812$, tìm $x+y+z$.

$\boxed{\text{Bài toán 275}}$ Giải phương trình: $$\left(\cos 2x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\cos \frac{3}{4}x-\frac{3}{4}$$

$\boxed{\text{Bài toán 276}}$ Cho $\Delta ABC$, đường cao $BE$, $CF$ cắt nhau tại $H$. Đường thẳng $EF$ cắt $BC$ tại $G$. Đường thẳng $GH$ cắt đường thẳng qua $A$ song song $BC$ tại $L$. Gọi $M$ là trung điểm của $BC$.Qua $M$ vẽ tiếp tuyến với đường tròn nội tiếp $\Delta ABC$ cắt $AL$ tại $X$. Chứng minh rằng
$$XA=XL \Leftrightarrow \cos \widehat{BAC}=\frac{b+c}{2a+b+c}$$

$\boxed{\text{Bài toán 277}}$
Tìm các số nguyên dương $x,y$ sao cho $x^{3}+y^{2}$ chia hết cho $xy+1$.

$\boxed{\text{Bài toán 278}}$
Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $BC=a,AB=AC=b$, biết $\widehat{A}=\dfrac{\pi }{7}$. Chứng minh rằng :
$$a^4-3a^2b^2-ab^3+b^4=0$$

$\boxed{\text{Bài toán 279}}$
Cho tam giác $ABC$, trực tâm $H$. Hai đường thẳng $d$ và $d'$ bất kì qua $H$. $d$ cắt $AB,BC,CA$ tại $C',A',B'$ và $d'$ cắt $AB,BC,CA$ tại $C'',A'',B''$. Gọi tâm của $(HA'A''), (HB'B''),(HC'C'') $ là $ O_{1} , O_{2} , O_{3} $. $HO_{1} , HO_{2} , HO_{3} $ cắt $A'A'',B'B'',C'C''$ tại $M,N,P$. CMR: $M,N,P$ thẳng hàng

$\boxed{\text{Bài toán 280}}$
Cho $p$ là số nguyên tố.
Tính $S= \sum\limits_{k=1}^{ \dfrac{p-1}{2} }[ \dfrac{k^2}{p}]$

với $p \equiv 1\pmod4 $

$[x]$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$



---


#522933 Chứng mình rằng Mary có chiến thuật để bảo đảm thắng cuộc chơi .

Gửi bởi PSW trong 05-09-2014 - 15:56

Bài toán này thuộc Gameshow NHỮNG BÀI TOÁN TRONG TUẦN. Bài toán đã được công bố lại nhiều ngày nhưng chưa ai giải được. BTC đã đặt hoa hồng hi vọng  @};- cho bài toán này.

Nếu hết ngày 07/09 mà vẫn không có ai giải được, BTC sẽ công bố bài toán khác, tuy nhiên hoa hồng hi vọng  @};- sẽ vẫn tồn tại cho đến khi có người giải được bài toán này.




#522059 Chứng minh $\sum \dfrac{\sqrt{a^2+ab+b^2}+...

Gửi bởi PSW trong 31-08-2014 - 09:10

Bài toán này thuộc Gameshow NHỮNG BÀI TOÁN TRONG TUẦN. Bài toán đã được công bố lại nhiều ngày nhưng chưa ai giải được. BTC đã đặt hoa hồng hi vọng   @};- cho bài toán này.

Nếu hết ngày 3/9 mà vẫn không có ai giải được, BTC sẽ công bố bài toán khác, tuy nhiên hoa hồng hi vọng   @};- sẽ vẫn tồn tại cho đến khi có người giải được bài toán này.




#520935 Cm $\forall z_1 \neq z_2 \in \mathbb{C}...

Gửi bởi PSW trong 23-08-2014 - 21:45

Bài toán này thuộc Gameshow NHỮNG BÀI TOÁN TRONG TUẦN. Bài toán đã được công bố lại nhiều ngày nhưng chưa ai giải được. BTC đã đặt hoa hồng hi vọng  @};- cho bài toán này.

Nếu hết ngày 24/08 mà vẫn không có ai giải được, BTC sẽ công bố bài toán khác, tuy nhiên hoa hồng hi vọng  @};- sẽ vẫn tồn tại cho đến khi có người giải được bài toán này.




#520934 [Archive] Cập nhật list Những bài toán trong tuần (201-300)

Gửi bởi PSW trong 23-08-2014 - 21:44

$\boxed{\text{Bài toán 241}}$   
Giải PT nghiệm nguyên

$$x^{2002}+y^{2002}=2003^{2001}(x^{3}+y^{3})$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 242}}$
Cho $(P):2x-y+2z-1=0; (Q):2x-y+2z+5=0$ và điểm $A(-1;1;1)$ nằm giữa $(P)$ và $(Q)$. Mặt cầu $(S)$ di động qua $A$, tiếp xúc cả $(P)$ và $(Q)$. Chứng minh rằng $(S)$ có tâm $I$ ở trên hai đường tròn cố định.
 

$\boxed{\text{Bài toán 243}}$
Xác định đa thức $P(x)$ hệ số thực thỏa
$$\sin P\left( x \right) = P\left( {\sin x} \right),\forall x \in \mathbb{R}$$
 

$\boxed{\text{Bài toán 244}}$
Ở một cuộc đua ngựa có 20 con chia đều cho 2 người làm chủ. Các con được xếp thứ tự theo độ nhanh của nó. Người thứ nhất giữ các con 1, 5, 7, 8, 9, 15, 16, 18, 19, 20. Mỗi lần đua 2 người sẽ đưa ra một con ngựa của mình. Nếu thắng thì được 3 điểm, thua bị trừ 1 điểm. Nếu thắng 2 trận liên tiếp nhau thì được cộng thêm 3 điểm, nếu thua liên tiếp 2 trận thì trừ thêm 2 điểm. Người thứ nhất cho các con ngựa của mình thi đấu lần lượt theo số thứ tự của nó. Hỏi có cách nào giúp người thứ hai thắng không?
 
$\boxed{\text{Bài toán 245}}$
Cho số thực $a$ và số thực dương $c>0$
Tìm tập hợp các số phức thỏa :
$$|z-a|-|z+a|=2c$$
 

$\boxed{\text{Bài toán 246}}$  @};- 
Cho đa thức $f(z)=1+\frac{z}{4}+\frac{z^2}{4^2}+...+\frac{z^n}{4^n}$. Chứng minh rằng $\forall z_1 \neq z_2 \in \mathbb{C}$ thỏa mãn $|z_1|,|z_2| \le 1$ thì $$|f(z_1)-f(z_2)| >\frac{|z_1-z_2|}{8}$$
 

$\boxed{\text{Bài toán 247}}$  @};- 
Cho $a, b, c $ là các số thực dương. Chứng minh rằng:
$$\sum \dfrac{\sqrt{a^2+ab+b^2}+\sqrt{a^2+ac+c^2}}{\sqrt{b^2+bc+c^2}}\leq \dfrac{2(a^2+b^2+c^2)^2}{a^2b^2+b^2c^2+a^2c^2}$$

 

$\boxed{\text{Bài toán 248}}$ BÀI TOÁN THÁNG 9
Người ta đánh giá hiệu suất của một thang máy của một tòa nhà $n$ tầng $(n>2)$ bằng tỉ số $T=\frac{1}{t_2.t_n}$. Trong đó độ cao các tầng được xem là bằng nhau, $t_n$ là thời gian thang máy đáp ứng một cuộc gọi từ tầng $1$ đến tầng $n$ (không dừng giữa hành trình), $t_2$ là thời gian thang máy đáp ứng một cuộc gọi từ tầng $1$ đến tầng $2$ (tất cả không tính thời gian đóng mở cửa). Người ta mong muốn tỉ số $T$ này càng lớn càng tốt, nhưng vẫn phải đảm bảo độ "êm ái" và độ "say" trong giới hạn cho phép.
Độ êm ái là yêu cầu "trơn" về đồ thị của vận tốc (nghĩa là hàm vận tốc khả vi khắp hành trình)
Độ "say" $\Delta a$ là ngưỡng thay đổi về gia tốc mà cơ thể cảm nhận được trong quá trình thang máy di chuyển. Ngưỡng này được quy định $\left|\Delta a\right| \leq 1\, m/{s^2}$ (nghĩa là không vượt quá $1/{10}$ gia tốc trọng trường, lấy $g=10\,m/s^2$)
 
Một tòa nhà $11$ tầng (có thang máy với $11$ điểm dừng) độ cao giữa các tầng là $4\,m$. Biết rằng hiệu suất $T$ của thang máy đạt giá trị lớn nhất. Tính $T$.
 

$\boxed{\text{Bài toán 249}}$  @};-
Alex và Mary thay nhau viết các chữ số 0 hay 1 cho đến khi mỗi người viết được 2001 chữ số. Mary sẽ là người thắng cuộc nếu cô ấy viết được một số trong biểu diễn nhị phân sao cho số đó không thể viết được dưới dạng tổng 2 số chính phương. Chứng mình rằng Mary có chiến thuật để bảo đảm thắng cuộc chơi.

 

$\boxed{\text{Bài toán 250}}$ Cho x,y,z là các số thực dương thỏa mãn: $x^2+y^2+z^2=1$. Tìm Min của:
$A=(x+y+z)^{2}+\dfrac{1}{2}(\dfrac{x^{3}+y^{3}+z^{3}}{xyz}-\dfrac{1}{xy+yz+zx})$




#518315 Hãy tìm tất cả các giá trị $k\geq2$ sao x,y,z thỏa mãn điều ki...

Gửi bởi PSW trong 07-08-2014 - 21:15

Bài toán này thuộc Gameshow NHỮNG BÀI TOÁN TRONG TUẦN. Bài toán đã được công bố lại nhiều ngày nhưng chưa ai giải được. BTC đã đặt hoa hồng hi vọng   @};- cho bài toán này.

Nếu hết ngày 10/08 mà vẫn không có ai giải được, BTC sẽ công bố bài toán khác, tuy nhiên hoa hồng hi vọng    @};- sẽ vẫn tồn tại cho đến khi có người giải được bài toán này.




#514400 Chứng minh rằng $(S)$ có tâm $I$ ở trên hai đường tròn cố...

Gửi bởi PSW trong 21-07-2014 - 16:44

Cho $(P):2x-y+2z-1=0; (Q):2x-y+2z+5=0$ và điểm $A(-1;1;1)$ nằm giữa $(P)$ và $(Q)$. Mặt cầu $(S)$ di động qua $A$, tiếp xúc cả $(P)$ và $(Q)$. Chứng minh rằng $(S)$ có tâm $I$ ở trên hai đường tròn cố định.