Cho $a,b,c>0$ thỏa $\frac{1}{a+1}+\frac{1}{b+1}+\frac{1}{c+1}=2$. Tìm GTNN của $$P=\frac{3}{8a^2+1}+\frac{32(b^2+c^2)+10}{64b^2c^2+16bc+1}$$
$\frac{1}{1+a}<1\Rightarrow \frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\ge 1 \Rightarrow bc\le 1$
$2=\frac{1}{1+a}+\frac{1}{1+b}+\frac{1}{1+c}\le \frac{1}{1+a}+\frac{2}{1+\sqrt{bc}}\Rightarrow a\le \frac{1}{2\sqrt{bc}}-\frac{1}{2}$
Đặt $\sqrt{bc}=x$.$b^2+c^2\ge 2bc=2x^2$
$P\ge \frac{3x^2}{3x^2-4x+2}+\frac{64x^2+10}{(8x^2+1)^2}=f(x)$
f(x) nhỏ nhất khi $x\approx 0,581196$ là nghiệm của 1 pt bậc 7.
$\min P \approx 3,778$