lethanhnguyen

Mình sử dụng Geogebra rồi post lên được không? Và làm sao?

Những bài thế này thì thường giải bằng phản chứng và phân tích a = này nọ nhưng tại sao ta k nghĩ việc đơn giản hơn nhỉ
vì a chia hết p nên hiển nhiên a.a chia hết cho p = a^2 chia hết cho p => đpcm << k biết có gì sai k nhưng mình làm thế này bị cô giáo chửi 1 trận

Mình thử cho 1 ví dụ nhé:
$2^2=2.2=4$ chia hết cho 4. Như theo bạn nói thì 2 phải chia hết cho 4, điều này là vô lý

Một cái nữa là, từ a chia hết cho p suy ra $a^2$ chia hết cho p, nhưng ta không thể suy ra điều ngược lại được như đã nói phía trên. Để có điều này phải chứng minh bằng phản chứng là hay nhât.

Bài 2: Có thể chứng minh bằng cách khác khá ngắn gọn và hay.

Đặt: $x = c{\rm{os}}\alpha ,\,\,\,\alpha \in \left[ {0;\pi } \right]$

Khi đó: ${\left( {1 + x} \right)^n} + {\left( {1 - x} \right)^n} = {\left( {1 + c{\rm{os}}\alpha } \right)^n} + {\left( {1 - c{\rm{os}}\alpha } \right)^n}$

$ = {\left( {2{{\cos }^2}\dfrac{\alpha }{2}} \right)^n} + {\left( {2{{\sin }^2}\dfrac{\alpha }{2}} \right)^n} = {2^n}\left( {{{\cos }^{2n}}\dfrac{\alpha }{2} + {{\sin }^{2n}}\dfrac{\alpha }{2}} \right) \le {2^n}\left( {{{\cos }^2}\dfrac{\alpha }{2} + {{\sin }^2}\dfrac{\alpha }{2}} \right) = {2^n}$

Suy ra đpcm.

Hay đấy. Nhưng theo mình làm theo cách quy nạp vẫn dễ hơn

Bài 3:
Bước cơ sở tương tự như bài trên
Giả sử mệnh đề đúng khi n=k, tức là:
$(k -1)a^k + b^k \ge a^{k-1}b$
Với n=k+1 ta có: $(n -1)a^n + b^n$
$= ka^{k+1 - 1} + b^{k+1}$
$= (k-1)a^{k+1} + a^{k+1}+ b^{k+1} +ab^k - ab^k$
$=a\left[ {a^k(k-1) + b^k} \right] + a^{k+1} + b^{k+1} - ab^k$
$\ge ka^kb + a^{k+1} + b{k+1} -ab^k$
$= ka^kb +a^kb +a^{k+1} + b^{k+1} -ab^k - a^kb$
$= (k+1)a^kb + (a-b)(a^k - b^k)$
$\ge (k+1)a^kb$$. Do $$(a-b)(a^k - b^k) \ge 0$
Do đó mệnh đề đúng với n=k+1.
Theo nguyên lí quy nạp ta được đpcm.

Bài 2: Mình sửa lại đề luôn: Cho $\left| x \right| \le 1$ không phải $\left| n \right| \le 1$
Đặt P(n) là mệnh đề chứa biến:" $(1-x)^n + (1+x)^n \le 2^n$"
Ta thấy P(1) đúng.
Giả sử P đúng với $n=k$, tức là P(k) đúng:
$(1-x)^k + (1+x)^k \le 2^k$
Với $n=k+1$, ta có:
$(1-x)^n + (1+x)^n = (1-x)^{k+1} + (1+x)^{k+1}$
Do $\left| x \right| \le 1$ nên $ 1 - x \ge 0$ và $1 + x\ge 0$
Suy ra:
$(1-x)^{k+1} + (1+x)^{k+1} \le (1-x)^{k+1} + (1+x)^{k+1} + (1-x)(1+x)^k + (1+x)(1-x)^n
=\left[ {(1-x) + ( 1+x)} \right] \times\left[ {(1-x)^n + ( 1+x)^n} \right] \le 2.2^n= 2^{n+1}$
Vậy mệnh đề P(k+1) đúng. Theo nguyên lí quy nạp thì P(n) đúng.
Kết luận