Posted by
1. Họ và tên thật: Võ Thành Đức
2. Lớp: 10T2, Trường: THPT Chuyên Quốc Học Huế, Tỉnh: TP.Huế
3. Đề: Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn (O;R).
Chứng minh rằng với mọi điểm M tùy ý ta luôn có: $MA+MB+MC\geqslant OA+OB+OC$
4. Đáp án:
Do tam giác ABC đều nội tiếp đường tròn (O;R) nên O là trọng tâm của tam giác ABC, nên:
$\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}=0$
Chia 2 vế cho OA, hay: $\frac{\overrightarrow{OA}}{OA}+\frac{\overrightarrow{OB}}{OB}+\frac{\overrightarrow{OC}}{OC}=0$
(Do OA=OB=OC=R)
Ta có:
$\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{OA}=MA\cdot OA\cdot cos(\overrightarrow{MA},\overrightarrow{OA})\leqslant MA\cdot OA\Rightarrow MA\geqslant \frac{\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{OA}}{OA}$
Mặt khác:
$\frac{\overrightarrow{MA}\cdot \overrightarrow{OA}}{OA}=\frac{(\overrightarrow{MO}+\overrightarrow{OA})\cdot \overrightarrow{OA}}{OA}=\frac{\overrightarrow{MO}\cdot \overrightarrow{OA}}{OA}+OA$ , nên:
$MA\geqslant \frac{\overrightarrow{MO}\cdot \overrightarrow{OA}}{OA}+OA$ (1)
Tương tự như trên, ta có:
$MB\geqslant \frac{\overrightarrow{MO}\cdot \overrightarrow{OB}}{OB}+OB$ (2)
$MC\geqslant \frac{\overrightarrow{MO}\cdot \overrightarrow{OC}}{OC}+OC$ (3)
Cộng (1), (2) và (30 vế theo vế, suy ra
$MA+MB+MC\geqslant \overrightarrow{MO}\cdot (\frac{\overrightarrow{OA}}{OA}+\frac{\overrightarrow{OB}}{OB}+\frac{\overrightarrow{OC}}{OC})+OA+OB+OC$
Do $\frac{\overrightarrow{OA}}{OA}+\frac{\overrightarrow{OB}}{OB}+\frac{\overrightarrow{OC}}{OC}=0$ nên:
$MA+MB+MC\geqslant OA+OB+OC$
Vậy $MA+MB+MC\geqslant OA+OB+OC$
Dấu "=" xảy ra khi $M\equiv O$
Nhưng mà cách làm chắc cũng tương tự vậy thôi 
