1) (BĐT Schur)

Cmr: $\sum a^3+3abc\geq \sum ab(a+b)$

 

Đây là BĐT Schur bậc 3, có nhiều cách c/m BĐT này nhưng mình chọn cách thường dùng nhất - Cauchy. Ở trên đã có 1 cách, đây là cách 2:

Ta có $\sum a^3+3abc \geq \sum ab(a+b) \Leftrightarrow  abc \geq \sum (a+b-c).$ (*)

Giả sử $a\ \geq b \geq c$ thì xét b + c - a < 0, lúc này (*) luôn đúng.

Xét b + c - a > 0 thì áp dụng BĐT Cauchy cho 2 số dương: $(b+c-a)(a+b-c) \leq \frac{(b+c-a+a+b-c)^2}{4}=b^2$

$\Rightarrow \sum (a+b-c)^2 \leq (abc)^2$

Khai căn 2 vế ta đc đpcm.

79) Cho $a;b;c>0$ và $abc=1$. Cmr: $\sum \frac{1}{a^3(b+c)}\geq \frac{3}{2}$

 

79

$\frac{1}{a^{3}(b+c)}+\frac{(b+c)a}{4}\geq \frac{1}{a}$(bđt cô-si)

tt ta có

$\sum \frac{1}{a^{3}(b+c)}+\sum \frac{(b+c)a}{4}\geq \sum \frac{1}{a}$

$\Leftrightarrow \sum \frac{1}{a^{3}(b+c)}\geq \sum \frac{1}{a}-\sum \frac{(b+c)a}{4}$

ta cần cm $\sum \frac{1}{a}-\sum \frac{(b+c)a}{4}\geq \frac{3}{2}$

$\Leftrightarrow \frac{ab+bc+ca}{2}\geq \frac{3}{2}$

mà $ab+bc+ca\geq 3\sqrt[3]{a^{2}b^{2}c^{2}}= 3$ nên ta ố đpcm

dấu = xảy ra khi và chỉ khi a=b=c=1

Cách 2: Đặt ẩn phụ. Đặt $a=\frac{1}{x};b=\frac{1}{y};c=\frac{1}{z}$ với x; y ; z > 0, từ abc = 1 ta cũng có xyz = 1.

Biến đổi $\frac{1}{a^3(b+c)}=\dfrac{1}{\dfrac{1}{x^3}.(\dfrac{1}{y}+\dfrac{1}{z})}=\frac{x^3yz}{y+z}=\frac{x^2}{y+z}$ (do xyz = 1)

$\Rightarrow  \sum \frac{1}{a^3(b+c)}=\sum \frac{x^2}{y+z} \geq \frac{(x+y+z)^2}{\sum(y+z)}(Schwarz) \\ =\frac{x+y+z}{2} \geq \frac{3.\sqrt[3]{xyz}}{2}(Cauchy)=\frac{3}{2}$

$\Rightarrow$ đpcm.

Dấu = khi a = b = c = 1.

103

$a\sqrt{ac}\leq a\frac{a+c}{2}$$\Rightarrow \sum a\sqrt{ac}\leq \frac{\sum a^{2}+\sum ab}{2}$

lại có $\sum \frac{a^{3}}{b}\sum \frac{a^{4}}{ab}\geq {(\sum a^{2})^{2}}{\sum ab}$

ta cần cm ${(\sum a^{2})^{2}}{\sum ab}\geq \frac{\sum a^{2}+\sum ab}{2}$

mà $\sum a^{2}\geq \sum ab$

$\Rightarrow (\sum a^{2})^{2}\geq (\sum a^{2})(\sum ab)$

$\Rightarrow (\sum a^{2})^{2}\geq (\sum ab)^{2}$

nên ta có đpcm

Chỗ này là sao hả Hoàng????

Thiếu dấu = và thiếu phân thức, lẽ ra phải là $\sum \frac{a^3}{b}=\sum \frac{a^4}{ab} \geq \frac{(\sum a^2)^2}{\sum ab}$ (BĐT Schwarz)

74) Cho $x+y=3$; $x\leq 1$. Cmr: $y^3-x^3-6y^2-x^2+9y\geq 0$

 

Có x + y = 3; $x \leq 1 \Rightarrow y \geq 2$.

Biến đổi $y^3-x^3-6y^2-x^2+9y \\ =(y^3-6y^2+9y)-(x^3+x^2) \\ =y(y-3)^2-x^2(x+1) \\ =(3-x)x^2-x^2(x+1) \\ =2x^2(1-x) \geq 0$ 

 

vậy thì nhờ mấy anh giúp dùm bài này :

cho a , b là hai số thỏa mãn đẳng thức : $a^{2} + b^{2} +3ab -8a -8b -2\sqrt{3ab} + 19 =0$

 

Lập phương trình bậc 2 có 2 nghiệm a và b 

 

Ta có $a^{2} + b^{2} +3ab -8a -8b -2\sqrt{3ab} + 19 =0 \\ \Leftrightarrow (a+b)^{2} -2ab+3ab -8(a+b) -2\sqrt{3}.\sqrt{ab} + 19 =0 \\ \Leftrightarrow [(a+b)^{2}-8(a+b)+16]+[ab-2.\sqrt{ab}.\sqrt{3}+3] =0 \\ \Leftrightarrow (a+b-4)^2+(\sqrt{ab}-\sqrt{3})^2 =0 \\ \Leftrightarrow a+b-4=sqrt{ab}-\sqrt{3}=0 \\ \Leftrightarrow a+b=4;ab=3$

Áp dụng đ/l Viet đảo thì a; b là nghiệm của  pt: $X^2-4X+3=0$

Mân mê mãi mới up được cái hình lên VMF:

Mọi người có đáp án chính thức KHTN năm nay chưa?

có điểm chính thức thôi bạn =)))))

Ở Bắc Ninh thì tội gì không lên đây học :3

Cơ mà tùy e thôi

Căn bản là lớp em chả đứa nào đi, dù đỗ cả hk bổng đi một mình, chán ạ =)))

Vậy là SP với KHTN đều đã có điểm :3

Các em chọn trường gì nào ?

em chả biết nữa anh ạ, chắc về tỉnh là an toàn nhất :v

Ờ nếu đi 1 mình thì chán thật.
Thôi ở quê đi em =))

thôi em đi SP anh ạ :3

Chào mừng k48 :3

công nhận số 48 đẹp anh ạ =)))

Cận chuyên cao hơn lớp chuyên hả mn

Năm nay toán 1 khtn khoảng bao nhiêu điểm vậy mọi người . 

Thật ra đây là một câu hỏi khó :3

Trên 40 chắc chắn vào toán 1 :v

                                                                        Đề số 11:

 

Bài 3: Tìm số điện thoại của cơ quan, biết số điện thoại có dạng : $\overline{82aabb}$ và $\overline{aabb}$ là số chính phương có 4 chữ số

 

Đặt $m^2=\overline{aabb}=1100a+11b=11[99a+(a+b)]$ (m thuộc N) (*)

Mà $m^2$ là scp nên 99a + (a + b) chia hết cho 11 $\Rightarrow$ a + b chia hết cho 11.

$1 \leq a+b \leq 18$ nên a + b = 11. Thay vào (*) $\Rightarrow m^2=11(99a+11)=11^2.(9a+1)$

$\Rightarrow$ có 9a + 1 là scp.

$0<a \leq 9$ nên xét từng T.h, ta chọn a = 7 thỏa mãn 9a + 1 = 64 là scp.

$\Rightarrow$ b = 4 $\Rightarrow$ số điện thoại cơ quan là 827744.

                                                                        Đề số 11:

Bài 1: chứng minh nếu $a+b=1$ $(a\neq 0;b\neq 0)$

thì $\frac{b}{b^{3}+1}-\frac{a}{b^{3}-1}=\frac{2(a-b)}{a^{2}b^{2}+3}$

 

Đề phải là $\frac{b}{a^3-1}-\frac{a}{b^3-1}=\frac{2(a-b)}{a^2b^2+3}$ thì đúng hơn????

Đây là lời giải bằng tiếng anh http://www.artofprob...308470#p2699649

Bạn nào trình bày bằng tiếng việt đi nào

Nhìn kĩ hình như có vấn đề về thuyết đồng dư với bài này ở bên trang Aops.

                                                                        Đề số 11:

Bài 2:chứng minh: $\sqrt[3]{3+\sqrt[3]{3}}+\sqrt[3]{3-\sqrt[3]{3}}< 2\sqrt{3}$

 

Đặt $a=\sqrt[3]{3+\sqrt[3]{3}};b=\sqrt[3]{3-\sqrt[3]{3}}$

$\Rightarrow a^3+b^3=6;(a+b)^3=a^3+b^3+3ab(a+b);a \neq b$

$\Rightarrow (2\sqrt[3]{3})^3-(\sqrt[3]{3+\sqrt[3]{3}}+\sqrt[3]{3-\sqrt[3]{3}})^3=...$

$=3(a^3+b^3)-3ab(a+b)=3(a+b)(a^2-ab+b^2-ab)=3(a+b)(a-b)^2 > 0$

$\Rightarrow$ đpcm.

$\left\{\begin{matrix} 8x^{2}+12y^{2}-20xy=0 & & \\ 4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y & & \end{matrix} \right$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} 2x^2-5xy+3y^2=0 & & \\ 4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y & & \end{matrix}\right$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} (x-y)(2x-3y)=0 & & \\ 4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y & & \end{matrix}\right$

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x-y=0 & & \\ 4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y & & \end{matrix}\right$ $\left \langle 1 \right \rangle$ 

hoặc $\left\{\begin{matrix} 2x-3y=0 & & \\ 4x^{2}-6x+1=y^{2}-3y & & \end{matrix}\right$ $\left \langle 2 \right \rangle$

- Xét hệ $\left \langle 1 \right \rangle$ , thay x = y vào phương trình dưới ta được $4y^2-6y+1=y^2-3y.$ $\Leftrightarrow 3y^2-3y+1=0.$ (1)

Phương trình (1) có $\Delta=(-3)^2-4.3.1=-3<0$ nên Phương trình (1) vô nghiệm, tức hệ $\left \langle 1 \right \rangle$ vô nghiệm.

$\Rightarrow$ hệ đã cho vô nghiệm. ( * )

- Xét hệ $\left \langle 2 \right \rangle$ , thay 2x = 3y vào phương trình dưới ta được $9y^2-9y+1=y^2-3y$ $\Leftrightarrow 8y^2-6y+1=0.$ (2)

$\Delta'=(-3)^2-8.1=1$ $\Rightarrow$ phương trình (2) có hai nghiệm $y=\left (\frac{1}{4}; \frac{1}{2} \right )$

$\Rightarrow$ hệ $\left \langle 2 \right \rangle$ có hai nghiệm $(x;y)=(\frac{1}{4};\frac{3}{8});(\frac{1}{2};\frac{3}{4})$ 

$\Rightarrow$ hệ đã cho có hai nghiệm  $(x;y)=(\frac{1}{4};\frac{3}{8});(\frac{1}{2};\frac{3}{4})$ (**)

Kết hợp ( * ) và (**) $\Rightarrow$ hệ đã cho có hai nghiệm  $(x;y)=(\frac{1}{4};\frac{3}{8});(\frac{1}{2};\frac{3}{4})$

Sai latex kinh quá.

Sai ngay từ pt1 đầu tiền (bạn viết nhầm kìa)

Có chỗ sai tiếng Việt : "Loại" chứ không phải "Lại"

 

Ăn 30 điểm là BGK dễ tính đấy chứ sai từ đầu là đi rồi

công nhận BGK cũng dễ tính đi thi chỗ tớ thế này nhìn kq là 0 luôn :v

Có bài sau nhờ mn làm giúp:

Giải pt sau: $x^6+x^5+x^4+x^3+x^2=x+1.$

cho em hỏi 1 bài 

Căn bậc 2 của 24 - căn bậc 2 của 23 + căn bậc 2 của 22 -......- căn bậc 2 của 3 +  căn bậc 2 của 2 -  căn bậc 2 của 1 

chứng minh nó <5/2

Ta có $\sqrt{24}-\sqrt{23}+\sqrt{22}-\sqrt{21}+...+\sqrt{2}-\sqrt{1} \\ =\dfrac{1}{\sqrt{24}+\sqrt{23}}+\dfrac{1}{\sqrt{22}+\sqrt{21}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{2}+\sqrt{1}} \\ \leq \dfrac{1}{4}. \Big( \dfrac{1}{\sqrt{24}}+\dfrac{1}{\sqrt{23}}+\dfrac{1}{\sqrt{22}}+\dfrac{1}{\sqrt{21}}+...+\dfrac{1}{\sqrt{2}}+\dfrac{1}{\sqrt{1}} \Big) \\ < \dfrac{1}{4}.(2.\sqrt{24}) \\ < \dfrac{1}{4}.(2.\sqrt{25})=\dfrac{5}{2}$

z nhờ anh giải giúp bài này ";

cho 3 số x, y,z thỏa mãn : $-1\leq x,y,z\geq 3$ và x+y+z=3$

chứng minh rằng : $x^{2} + y^{2} + z^{2} \leq 11$

cảm ơn anh nhiều

Phải là $-1\leq x,y,z\leq 3$ 

Đặt x = a + 1; y = b + 1; z = c + 1.

Có $-1\leq x,y,z\leq 3$ và $x+y+z=3$ nên $-2 \leq a;b;c \leq 2$ và $a+b+c=0$

Trong ba số a; b; c có hai số cùng dấu. G/s hai số đó là a và b thì $ab \geq 0$ nên $c^2 \leq 2^2=4$

Khi đó $\sum x^2=\sum (a+1)^2=\sum a^2+2.\sum a+3 \\ \leq (a+b)^2+c^2+3=(-c)^2+c^2+3=2c^2+3 \\ \leq 2.4+3=11$

Dấu = xảy ra khi $\left\{\begin{matrix} x = a + 1; y = b + 1; z = c + 1. & & \\ a+b+c=0 & & \\ ab = 0 & & \\ c^2=4 & & \end{matrix}\right.$ 

$\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} a=0 & & \\ c=-2 & & \\ b=2 & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x=1 & & \\ y=-1 & & \\ z=3 & & \end{matrix}\right.$ (và các hoán vị của chúng)