Cho $a, b, c >0$. Chứng minh $\sum \frac{a^2+b^2}{a^2+ab+b^2} \leq \frac{6(a^2+b^2+c^2)}{(a+b+c)^2}$
Nguyen Thi Thuy Nhung nội dung
Có 8 mục bởi Nguyen Thi Thuy Nhung (Tìm giới hạn từ 06-06-2020)
#607331 $\sum \frac{a^2+b^2}{a^2+ab+b^2} \leq...
Đã gửi bởi Nguyen Thi Thuy Nhung on 05-01-2016 - 16:13 trong Bất đẳng thức và cực trị
#579730 chứng minh rằng$\frac{a}{(a+3)^{2}}+...
Đã gửi bởi Nguyen Thi Thuy Nhung on 08-08-2015 - 15:59 trong Bất đẳng thức và cực trị
nhưng ở bài này có cho đk này đâu
thử bộ số a=0,1 b=0,2 c=0,3 khong thoa man dk $ab+bc+ca+abc\geq 4$
0,1.0,2.0,3 khác 1 bạn nhé!
Một ví dụ thuyết phục hơn là : với $a=2;b=6;c=\frac{1}{12}$ thì $abc=1$ nhưng $a+b+c<ab+bc+ca$
Cảm ơn bạn đã phát hiện lỗi sai. Mình sẽ xem lại.
#579185 chứng minh rằng$\frac{a}{(a+3)^{2}}+...
Đã gửi bởi Nguyen Thi Thuy Nhung on 06-08-2015 - 20:37 trong Bất đẳng thức và cực trị
đk là abc=1
abc=1 thì sao hả bạn? Ta đã sử dụng điều kiện này ở BĐT $ab+bc+ca+abc \geq 4$
BĐT cần chứng minh tương đương với $\frac{a}{a+1}+\frac{b}{b+1}+\frac{c}{c+1} \leq \frac{3}{2}$
Biến đổi tương đương cho ta BĐT là $a+b+c \geq ab+bc+ca$
Chứng minh được BĐT trên suy ra BĐT đầu là đúng, ta có đpcm.
#579120 chứng minh rằng$\frac{a}{(a+3)^{2}}+...
Đã gửi bởi Nguyen Thi Thuy Nhung on 06-08-2015 - 16:38 trong Bất đẳng thức và cực trị
Ta có: $ab+bc+ca+abc \geq 3\sqrt[3]{a^2b^2c^2}+abc=4$
$\Leftrightarrow c(a+b+ab) \geq 4-ab$
$\Leftrightarrow c \geq \frac{4-ab}{a+b+ab}\ (1)$
Trong 3 số $a-1, b-1, c-1$ có 2 số có tích không âm. Giả sử $(a-1)(b-1) \geq 0$
$\Leftrightarrow c(a-1)(b-1) \geq 0$
$abc+c \geq ac+bc\ (2)$
Từ (1) và (2) có:
$ab+bc+ca \leq ab+(ab+1)\frac{4-ab}{a+b+ab}$
Ta cần cm: $ ab+(ab+1)\frac{4-ab}{a+b+ab} \leq a+b+c$
$\Leftrightarrow ab+(ab+1)\frac{4-ab}{a+b+ab} \leq a+b+\frac{4-ab}{a+b+ab}$
$\Leftrightarrow (a-b)^2 \geq 0$ (đúng)
Ta có đqcm.
#579086 chứng minh rằng$\frac{a}{(a+3)^{2}}+...
Đã gửi bởi Nguyen Thi Thuy Nhung on 06-08-2015 - 15:44 trong Bất đẳng thức và cực trị
Áp dụng BĐT $(x+y)^2 \geq 4xy$
$\frac{a}{(a+3)^2}=\frac{a}{[(a+1)+2]^2} \leq \frac{a}{8(a+1)}$
Tương tự, ta có BĐT sau:
$\frac{a}{(a+3)^2}+\frac{b}{(b+3)^2}+\frac{c}{(c+3)^2} \leq \frac{a}{8(a+1)} + \frac{b}{8(b+1)}+ \frac{c}{8(c+1)}$
Ta cần chứng minh: $\frac{a}{a+1} + \frac{b}{b+1}+ \frac{c}{c+1} \leq \frac{3}{2}$
$\Leftrightarrow ab+bc+ca \leq a+b+c$ (đúng)
Bạn có thể xem cách chứng minh BĐT trên ở http://diendantoanho...-abcgeq-abacbc/
Trong bài này, điều kiện là $ab+bc+ca+abc \geq 4$ nhưng cách chứng minh vẫn tương tự.
Đẳng thức xảy ra khi a=b=c=1
#558398 Cho a,b,c là dộ dài 3 cạnh của tam giác có chu vi bằng 2: CMR: $\f...
Đã gửi bởi Nguyen Thi Thuy Nhung on 08-05-2015 - 23:05 trong Bất đẳng thức và cực trị
Mình xin đóng góp 1 bài
Cho $a,b,c$ là độ dài 3 cạnh một tam giác có chu vi bằng 3. Chứng minh
$3a^2+3b^2+3c^2+4abc \geq 13$
Ta có: $3-2a=a+b+c-2a=b+c-a >0$. Tương tự, ta có: $3-2b>0, 3-2c>0$
Áp dụng BĐT Côsi ta có:
$(3-2a)(3-2b)(3-2c) \leq (\dfrac{3-2a+3-2b+3-2c}{3})^3=1$
$\Leftrightarrow 27-9(2a+2b+2c)+12(ab+bc+ac)-8abc \leq 1$
$\Leftrightarrow 27-54+12(ab+bc+ca)-8abc \leq 1$
$\Leftrightarrow 4abc \geq 6(ab+bc+ca)-14$
$\Leftrightarrow 3(a^2+b^2+c^2)+4abc \geq 3(a+b+c)^2 -14=13$
Đắng thức xảy ra khi $a=b=c=1$
#558334 $\frac{1}{\sqrt{x}}+\frac...
Đã gửi bởi Nguyen Thi Thuy Nhung on 08-05-2015 - 14:19 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
ĐKXĐ: $x > \dfrac{3}{2}$
Phương trình tương đương:
#556850 Tìm các giá trị của m để pt $(m-1)x^{2}-(m-5)x+(m+1)=0$ c...
Đã gửi bởi Nguyen Thi Thuy Nhung on 28-04-2015 - 22:20 trong Phương trình, hệ phương trình và bất phương trình
Tìm các giá trị của m để pt $(m-1)x^{2}-(m-5)x+(m+1)=0$ có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn -1 (Nếu giải bằng cách đặt ẩn thì càng tốt )
Đặt $t=x+1 \Leftrightarrow t-1=x$, pt đã cho trở thành:
$(m-1)(t-1)^2-(m-5)(t-1)^2+m+1=0$
$\Leftrightarrow (m-1)t^2-(3m-7)t+3m-5=0\ (1)$
Để phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt lớn hơn -1 thì (1) phải có hai nghiệm phân biệt lớn hơn 0. Khi đó
$\left\{\begin{matrix} \Delta >0 & & \\ S>0 & & \\ P>0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} \Delta >0 & & \\ S>0 & & \\\ P>0 \end{matrix}\right.\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}\Leftrightarrow -3m^2-10m+29>0 & & \\ \dfrac{3m-7}{m-1}>0& & \\ \dfrac{3m-5}{m-1}>0 \end{matrix}\right.$
- Diễn đàn Toán học
- → Nguyen Thi Thuy Nhung nội dung