Bài thiếu điều kiện của n rồi.
Ta xét $n=-1$ thì $2^{3^{4n+1}}=2^{3^{-3}}=2^{\frac{1}{27}}$ không phải là số nguyên$\Rightarrow$ vô lí.

Vậy bạn có thể tự nghĩ được ko? Nếu cứ nhờ người khác giải thế này thì bao giờ mới khá lên được.
Xét $A=x^0+x^1+x^2+...+x^n$
$\Rightarrow x.A=x^1+x^2+x^3+...+x^n+x^{n+1}$
$\Rightarrow x.A-A=(x-1)A=x^{n+1}-x^0$
$\Rightarrow A=\frac{x^{n+1}-1}{x-1}$ với điều kiện $x$ khác $1$.

Trong 3 số nguyên liên tiếp, luôn tồn tại 1 số $\vdots3$, 2 số không chia hết cho 3$\Rightarrow$ bình phương của chúng sẽ có 1 số $\vdots3$ và 2 số chia 3 dư 1$\Rightarrow$ tổng bình phương sẽ chia 3 dư 2.
Mà 1 số chính phương luôn chia 3 dư 0 hoặc 1$\Rightarrow$ vô lí.
Vậy tổng các bình phương của 3 số nguyên liên tiếp không thể là 1 số chính phương.

Nhận xét: $MB^2-MC^2=2MA^2\Rightarrow MB^2=MC^2+2MA^2$.
TH1: $M$ nằm trong $\triangle{ABC}$:

Dựng $\triangle{MAN}$ vuông cân tại A như trên hình vẽ.
Theo định lí Pytago, ta có: $2MA^2=MN^2$.
$\triangle{AMC}=\triangle{ANB}(c.g.c)\Rightarrow MC=NB.$
Xét $\triangle{MNB}$ có $MN^2+NB^2=2MA^2+MC^2=MB^2\Rightarrow \triangle{MNB}$ vuông tại $N\Rightarrow \angle{MNB}=90\Rightarrow \angle{ANB}=\angle{AMC}=135.$
$\Rightarrow M$ sẽ chạy trên cung nhỏ $AC$ của $(O;OA)$ với $\angle{AOC}=360-135.2=90$.
TH2: $M$ nằm ngoài $\triangle{ABC}$:

Dựng $\triangle{MAN}$ vuông cân tại A như trên hình vẽ.
Theo định lí Pytago, ta có: $2MA^2=MN^2$.
$\triangle{AMC}=\triangle{ANB}(c.g.c)\Rightarrow MC=NB.$
Xét $\triangle{MNB}$ có $MN^2+NB^2=2MA^2+MC^2=MB^2\Rightarrow \triangle{MNB}$ vuông tại $N\Rightarrow \angle{MNB}=90\Rightarrow \angle{ANB}=\angle{AMC}=45.$
$\Rightarrow M$ sẽ chạy trên cung lớn $AC$ của $(O;OA)$ với $\angle{AOC}=45.2=90$.
Vậy $M$ sẽ chạy trên đường tròn $(O:OA)$.

Em làm cách suy ra, sao không có phần đảo?
D-B=17.5h
E=7đ
F=0
S=51.5

1 câu Tiếng Anh nhé các bạn.
It's greater than God, and more evil than the devil. The poor have it, the rich need it, and if you eat it, you'll die. What is it?

Ta có: $x^4+y^4+z^4+104x=1984 (1)$
$\Rightarrow 1\leq x^4,y^4,z^4<1984\Rightarrow 1\leq x,y,z\leq6.$
Mặt khác, ta nhận thấy $(1984-104x)\vdots4$ mà $x^4,y^4,z^4$ chia cho $4$ chỉ dư $0$ hoặc $1\Rightarrow x^4,y^4,z^4\vdots4\Rightarrow x,y,z\vdots2\Rightarrow x,y,z \in \left{ {2;4;6} \right\}.$ X
Vì $A$ là số tự nhiên$\Rightarrow 20^x+11^y\geq 1969^z\Rightarrow z\leq 2\Rightarrow z=2.$ Mặt khác $x=6$.(nếu $x<6$ thì $20^x+11^y\leq 20^4+11^6<1969^2$, loại)
Xét các trường hợp:
$*y=6\Rightarrow x^4+y^4+z^4+104x=3232>1984.$(loại)
$*y=4\Rightarrow x^4+y^4+z^4+104x=2192>1984.$(loại)
$*y=2\Rightarrow x^4+y^4+z^4+104x=1952<1984.$(loại)
Vậy $A$ không thể viết dưới dạng $a+a^2$ với $a$ là số tự nhiên.

Từ chỗ X trở về sau, lời giải không đúng.
D-B=21.6h
E=3
F=0
S=35.4

Anh perfectstrong dùng tổ hợp như vậy bạn kia chắc chưa học.
Đây là lời giải theo mình thấy là dễ hiểu hơn với bạn:
Từ 1 điểm bất kì trong $n$ giác, ta kẻ được $n-3$ đường chéo. (trừ điểm đó 2 điểm kề với điểm đó)
$\Rightarrow$ có $n(n-3)$ đường chéo.
Nhưng mỗi đường chéo được tính 2 lần $\Rightarrow$ chỉ còn $\frac{n(n-3)}{2}$ đường chéo.

Anh cho em sửa lại bài làm được ko?
Đặt $36x+y=2^a (1); 36y+x=2^b.$ thì a+b=z.
Không giảm tính tổng quát, giả sử $x<y\rightarrow 2^a<2^b.$(đến đây ta có nhận xét nếu x=y thì VT lẻ, VP chẵn=>loại)
$(1)\rightarrow y=2^a-36x$
$\rightarrow 1295x=36.2^a-2^b=2^a(36-2^{b-a})$
$\rightarrow b-a$ trong khoảng từ 1 đến 5.
Thử từng trường hợp, ta đều thấy $36-2^{b-a}$ không chia hết cho 7, mà VT chia hết cho 7$\rightarrow$ PT vô nghiệm. X

Đây là mở rộng của em: tìm nghiệm nguyên
Nhận xét: $2^z>0\rightarrow VT>0.$
Tương tự như trên, đặt $36x+y=2^a; 36y+x=2^b.$
$\rightarrow y=2^a-36x, y=2^b-36y$
Vậy x,y khác 0 (do $2^a$ không chia hết cho $36\rightarrow 2^a-36x$ khác 0; tương tự với $2^b-36y$)
Phần còn lại làm giống bài giải trên.

Kết quả:
D-B=46.5
E=9.5
F=1 * 10=10
S=40

Cả 2 bài đều dùng các hằng đẳng thức quen thuộc thôi mà.

Đặt $36x+y=2^a (1)$, $36y+x=2^b (2)$.
$(1)\Rightarrow y=2^a-36x (3)$.
Thay $(3)$ vào $(1)$, ta có: $36.2^a-2^b=1295x$.
Nhận xét: $VP \vdots 7\Leftrightarrow VT \vdots 7\Leftrightarrow 36.2^a-2^b \vdots 7\Leftrightarrow 2^a-2^b\vdots 7$.
Vì $36x+y, 36y+x>32\Rightarrow a,b>5\Rightarrow 2^a-2^b=2^k.m$ (k và m bất kì thuộc $Z+$). Và tất nhiên là số đó không chia hết cho 7.
Vậy pt không có nghiệm nguyên dương.

Mở rộng thì có phải chứng minh ko anh:
1. Thay điều kiện thành nghiệm nguyên.
2. Thay 36 thành $k$ sao cho $k^2-1\vdots 7$.
3. Thay $2^z$ thành $a^z$ với a không chia hết cho 7.

Nếu đề bài như vậy thì là vô hạn bạn ah.
Hình như bài thiếu điều kiện.

Đa thức dư sẽ có dạng $ax^2+bx+c$.
Theo gt, ta có $c=-2449$.
NX: $P(x)=Q(x).f(x)+(ax^2+bx-2449) (1)$.
Khi $x=1$, ta có $a+b=2550$.
Khi $x=-1$, ta có $a-b=2450$.
Kết hợp 2 pt trên, ta được $a=2500; b=50$.
Vậy đa thức dư là $2500x^2+50x-2449$.

Bài 2:
Ta có: $N=2^x5^y7^z$, suy ra số ước của N$=(x+1)(y+1)(z+1)$
Lại có số ước của 5N=$(x+1)(y+2)(z+1)$
$\Leftrightarrow(x+1)(z+1)=8$.
Tương tự, số ước của 8N=$2^3N=(x+4)(y+1)(z+1) \Leftrightarrow3(y+1)(z+1)=18$
Từ đó, ta có:$\left\{\begin{matrix}
(x+1)(z+1)=8\\
(y+1)(z+1)=6
\end{matrix}\right.$
$\Leftrightarrow x=7; y=5; z=0$ hoặc $x=3; y=2; z=1$
Vậy $N=40000$ hoặc $N=1400$.

Bài 1:
Có 10001=73.137 là hợp số.
Các số sau của dãy có dạng 10001.10000100001....00001 (k lần 00001, với k bất kì thuộc N, k lớn hơn 1) là hợp số.
Từ đó ta được đpcm.