mọi người giúp mình bài này nhé. cảm ơn mn nhiều
Đề:
Cho R là vành giao hoán có đơn vị. I là một idean của R, và R là một R- modun.
CMR:
$Hom_{R}(R/I,M)\cong 0:_{M}I$, với $0:_{M}I=\left \{ m\in M:Im=0 \right \}$
$Hom_R(R/I,M)$ là tập hợp những ánh xạ R-linear từ $R/I$ đến $M$,những ánh xạ này được xác định hoàn toàn bởi ảnh của $1+I$. Thí dụ, ánh xạ $f \in Hom_R(R/I,M)$ có $f(1+I)=x \in M$. Nhận thấy
$$x \in 0:_M I \text{ vì } xI=f(1+I)I=f(1I+I)=f(0)=0$$
Ta có thể viết $f(1+I)I=f(1I+I)$ là vì $f$ là ánh xạ R-linear, và $I \subset R$. Và $f(1I+I)=f(I)=f(0)$ là vì nên nhớ $f$ là ánh xạ từ $R/I$, mà trên $R/I$ thì $I=0$.
Khi đó, ta dựng đồng cấu $\varphi: Hom_R(R/I,M) \rightarrow 0:_M I$ với $f \mapsto f(1+I)$.
Sau khi có đồng cấu đó, ta chứng minh đó là đẳng cấu.
$\varphi$ đơn ánh là vì $\varphi(f)=0$ khi đó $f(1+I)=0$ vì vậy $f=0$. Ta cần chứng minh đó là toàn ánh. Với mọi $y \in 0:_M I$, ta cần dựng $f \in Hom_R(R/I, M)$ sao cho $f(1+I)=y.$
Đầu tiên, ta dựng $f' \in Hom_R(R, M)$ với $f'(1)=y$. Ánh xạ này luôn tồn tại. Sau đó, vì ta có $yI=0$, nên $I \subset ker(f')$. Nên $f'$ cảm ứng $f: R/I \rightarrow M$ với $f(1+I)=f'(1)=y.$
Để chứng minh điều này, ta chỉ cần chứng minh $f$ well-defined, tức là cho $r, r' \in R$ với $r+I= r'+I$ thí $f(r+I)=f(r'+I)$. Thật vậy, $f(r+I)=f(r'+I) \Leftrightarrow f(r-r'+I)=0$, tức là $f(I)=0$, nhưng điều này đúng vì $f(I)=f'(I)=0$ vì $I \subset ker(f')$.