Sao mình thấy ghi còn tiếp mà ... bản full ở đâu vậy mọi người, mình mới kiếm đc 2 file tổng cộng 8 trang à ( HPT đx loại 1 và 2)

Mình nhận được file của anh Vương, gõ hết lại latex (hồi làm "Tình Nguyện Viên")

Nhưng trong file chỉ có ngần đấy thôi, chắc không còn phần tiếp theo đâu ...

nhưng sao có thể biết được như vậy? giải theo cách nhân t vào pt (1) như ở trên lằng nhằng lắm @@

 

Đâu có bảo thế đâu, cứ đọc hết cái này đi đã ...

http://diendantoanho...iến-bằng-casio/

có thể giải hộ mình chi tiết hệ pt này ko?

thêm kinh nghiệm càng tốt

$\left\{\begin{matrix} 2x^{2}+2xy+y=5 & \\ y^{2}+xy+5x=7& \end{matrix}\right.$

 

Lấy $7PT(1)+3PT(2)$ ta được:
$$(x+y-2)(14x+3y+28)=0$$
________________
Tham khảo: http://diendantoanho...ệ-phương-trình/

Một số ví dụ thêm:

Ví dụ 3: Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^2+y^2=xy+x+y & \\x^2-y^2=3 & \end{matrix}\right.$

Ví dụ 4: Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^2+2y^2=3x-2 & \\2(x+y-1)=2xy & \end{matrix}\right.$

Ví dụ 5: (THTT số 379, tháng 1 năm 2011)
Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} y^2=(5x+4)(4-x) & \\y^2-5x^2-4xy+16xy-8y+16=0 & \end{matrix}\right.$

Ví dụ 6: (ĐH CĐ khối A, năm 2008)
Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^2+y+x^3y+xy^2+xy=-\frac{5}{4} & \\x^4+y^2+xy(1+2x)=-\frac{5}{4} & \end{matrix}\right.$

Ví dụ 7: Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^2-y^2=3 & \\x^2+y^2=xy+x+y & \end{matrix}\right.$

Ví dụ 8: (Thi thử ĐH CĐ năm 2011)
Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x^4+2x^3y+x^2y^2=2x+9 & \\x^2+2xy=6x+6 & \end{matrix}\right.$

Ví dụ 9: Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} 1+x^2y^2=19x^2 & \\xy^2+y=-6x^2 & \end{matrix}\right.$

VD 3: $x^2+y^2-xy-x-y+x^2-y^2-3=(x+1)(2x-3-y)$
VD 4: $x^2+2y^2-2x+1+y-xy=\dfrac{(x-4y-1)^2}{8}+\dfrac{7}{8} (x-1)^2$
VD 5: $y^2-(5x+4)(4-x)+(y^2-5x^2-4xy+16x-8y+16)=-2y(2x-y+4)$
VD 6: $x^2+y+x^3y+xy^2+xy-x^4-y^2-xy(1+2x)=-(x-1)(x^2+y)(-y+x+1)$
VD 7: $x^2+y^2-xy-x-y+x^2-y^2-3=(x+1)(2x-3-y)$
VD 8: $x^4+2x^3y+x^2y^2-2x-9+(x^2+2xy-6x-6)=(x^2+xy+x+5)(x^2+xy-x-3)$
VD 9: $6(1+x^2y^2-19x^2)-(y^2-19)(xy^2+y+6x^2)=(-y^4+19y^2)x+6-y^3+19y$
Suy ra $x=-{\frac {-6+{y}^{3}-19\,y}{{y}^{2} \left( {y}^{2}-19 \right) }}$
$1+x^2y^2-19x^2={\frac { \left( 2\,{y}^{2}-8\,y-3 \right) \left( {y}^{4}+4\,{y}^{3}-
11\,{y}^{2}-44\,y-12 \right) }{ \left( {y}^{2}-19 \right) {y}^{4}}}$
Suy ra đề có vẻ sai

 

Câu 4:

Giả sử $a,b,c,d$ là các số thực dương thỏa mãn $abc + bcd + cad + bad = 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của:
$$P = 4(a^3 + b^3 + c^3) + 9d^3$$

Bạn có dám đứng ở những nơi linh thiêng nhất khẳng định rằng bài viết trên hoàn toàn không tham khảo bất cứ một bài viết nào trước đây, là bạn tự nghĩ ra từ đầu đến cuối hay không? đồng ý rằng bạn có công sức sáng tạo thêm, bạn có quyền nói rằng bạn chỉ tham khảo bài viết của tớ nhưng không có nghĩa là bạn phủ nhận công sức của tớ trong bài viết của bạn. Bạn cũng thấy trong rất nhiều sách tham khảo cuối sách luôn có tên những tài liệu (kèm tên tác giả) mà mà người viết sách đã tham khảo
Đằng này bạn ghi "Bùi thế việt....." ngay dưới dòng tiêu đề để khẳng định tên tác giả
Đúng là có rất nhiều diễn đàn khác cũng đăng bài viết này nhưng hầu như đều ghi "Bùi thế việt..." và hơn nữa ngày đăng ko thể lâu năm hơn trang web của mình.
Tới đây mình cũng nói thêm, mấy cái bạn sáng tạo thêm cũng không ấn tượng. Việc gán X thì đứa thi casio nào chả biết, lúc mình viết trang web sở dĩ mình chọn gán Ans vì ẩn Ans bấm thuận lợi trên nhiều dòng máy Casio chứ không phải chỉ riêng fx 570. Cái hệ số mũ năm như bạn trên dẫn ra hay việc dùng 2 chữ số thay cho 3 chữ số đó lại rất nguy hiểm, nếu bạn giải thích không cẩn thận người làm theo có thể bị sót hệ số, bị dôi kết quả, hay nghiêm trọng hơn là khi hệ số khoảng từ 25 trờ lên thì có thể dẫn tới sai cả bài, thử đi thử lại mất thời gian. Những cái bạn sáng tạo thêm mình gần như đã tính trước hết rồi nhưng vì khó truyền tải và dễ nhầm lẫn nên mình đã không đưa vào web, hơn nữa cái bạn nghĩ ra thì ai đã thi casio đều có thể nghĩ ra được. Kể bạn cả bạn có công sức sáng tạo nhưng tôi cho rằng không lớn lắm.
Anh có nick face "mai hoàn hảo" mới thực để lại cho mình nhiều ấn tượng, Anh ấy đã từ nghiên cứu của mình để tạo ra phương pháp khai triển đa thức "có tham số m" bằng cách ứng dụng số phức. Quá hay và có nhiều ứng dụng
trước khi anh ấy công bố nghiên cứu đã liên hệ với mình trước chứ không như bạn
công nhận và khâm phục rằng bạn có nhiều công trình sáng tạo riêng. nhưng cái cái nào ra cái nấy, nhưng cái khác bạn có thể ghi mình tự viết còn cái này thì không. Tớ đã từng nghĩ rằng chúng ta có thể kết hợp sáng tạo như những gì tớ và anh "Mai Hoàn Hảo" đã làm. Chúng ta hoàn toàn có thể làm điều đó nếu bạn chịu thêm dòng chữ " tham khảo từ trang web kinhnghiemhoctap.blogspot.com"

 

 

Thứ nhất: Em thề là hầu hết em tự nghĩ ra mấy cái này (thầy cô giáo cũng gợi bao ý tưởng), và còn nhiều hơn thế ...

Thứ hai: Lịch sử nghĩ ra từng cái của em:

Tiểu học: Toàn nghịch ma trận fx 570 ms
Lớp 6: Lần đầu động vào cái máy CASIO fx 570 ES -> Mày mò linh tinh -> Biết gần hết tất cả các chức năng của phím ấn. Lúc đó đã đọc hết chương trình Toán 6, 7, 8 nhưng chẳng hiểu gì ...

Lớp 7: Lần đầu được thầy giáo dạy Vi-et  -> Biết ứng dụng của Vi-et, nhưng toàn bình phương cái phương trình vô tỷ ra phương trình bậc 2

(lúc đó học đội tuyển chỉ được dạy mấy dạng như thế)

Lớp 8: Cả năm chơi game. Còn học thì thắc mắc nhiều: Không hiểu vì sao ông thầy phân tích nhân tử ảo diệu vậy -> Tìm tòi -> Biết được cách nhân chia đa thức, phân tích nhân tử 2 ẩn, mấy cái thủ thuật vớ vẩn ở dưới đó, .... (hồi ấy phải làm rất nhiều dạng này -> quen -> nghĩ ra)

Đi thi HSG ăn may lên được vào trường Lương Thế Vinh

Lớp 9: Được học sâu hơn, có tham gia đội tuyển CASIO của Thành Phố, am hiểu sâu vào CASIO. Lúc đó nhờ thầy giáo gợi ý -> biết được cách giải phương trình bậc 4 bằng máy tính (dùng Vi-et). Từ đó thấy CASIO có nhiều điều thú vị -> quyết định tìm tòi những thứ mới lạ của CASIO.

(Năm đó đi thi CASIO được 45/50 -> ức chế -> nản)
Lớp 10:
Giai đoạn 1: Lớp 9 có tham gia đội tuyển học sinh giỏi tỉnh nên làm nhiều bài phương trình vô tỷ, hệ phương trình "ảo diệu"... Nhưng lên lớp 10 mới hiểu ra được ý đồ của các cách giải ấy ! Lúc đó tình cờ đọc bài báo trên THTT, dạy cách đặt ẩn phụ để ra hệ phương trình đối xứng : $ax^2+bx+c=\sqrt{mx+n}$

Nghĩ rằng chỉ cần bình phương ra phương trình bậc 4 là ok, nhưng vẫn thấy cách làm của báo khá "xấu" -> Thử thế các nghiệm tìm được vào cái $\sqrt{mx+n}$
Nhận thấy rằng: $x=p+\sqrt{q}$ thì $\sqrt{mx_2+n}=k+ t \sqrt{q}$

-> thỏa mãn: $\sqrt{mx_1+n}-tx+z=0$
Ồ, đó chính là nhân tử của phương trình vô tỷ -> Phát triển tra thủ thuật "Phân tích đa thức chứa căn thức thành nhân tử "

Giai đoạn 2: Đó mới chỉ là phương trình vô tỷ, còn hệ phương trình ?
Lúc đó thấy gần như tất cả sách làm theo kiểu: PT(1) chia cho x hay y gì gì đó, PT(2) chia cho ... -> nhóm hợp lý

Nhìn mà nản, lại phải tư duy, ...
Lúc đó, mình nghịch "Wolframalpha" và "Geogebra" để tìm mối liên hệ PT(1) + k PT(2) có gì đẹp mà phải nhóm như thế ...

Cho k chạy từ 0 đến 10, giả sử tại k=3 thì phân tích được thành nhân tử ...

Thật bất ngờ, đồ thị lúc đó là 1 đường cong cắt 1 đường thẳng chứ không phải 2 đường cong ngoằn ngoèo nữa ...

-> Tìm hiểu cái điểm cắt ấy

Thì ra, điểm cắt có liên quan đến $\dfrac{\delta \, f(x,y)_{PT1}}{dxdy}$ và $\dfrac{\delta \, f(x,y)_{PT2}}{dxdy}$

Quên nói là lúc đó, mình mới học được nửa kì I lớp 10. Lúc ấy đã tìm hiểu hết kiến thức Toán THPT (chỉ bằng sgk + Geogebra + Wolframalpha), có thể làm ngon lành đề thi đại học các năm trước (từ 2002 -> 2012). Đề thi thử của trường thầy giáo đưa cũng "chiến" tất ! Sau đó, thấy Toán hay hay, bắt đầu đọc giáo án Giải tích 2, 3 của các trường Đại học, xem các khóa dạy ở MIT (Mỹ), ...

Lúc đó, trong MIT có đề cập đến Lagrange và vectơ Gradient (dùng Ma trận Hessian + Gradient để chứng minh và biện luận "phương pháp nhân tử Lagrange")
(Đi thi đại học mà được dùng cái này thì quá ngon)
-> Mình đã nghĩ ra cách tìm hệ số $k$ bằng Lagrange (ảo lắm)
Nhưng rồi, cách đấy không hay (mỗi lần xét lại phải đạo hàm từng biến)
-> Quyết định nghĩ đường lối mới, lấp "chỗ trống" về cái đồ thị hàm $f(x,y)=PT(1)+kPT(2)$

Để ý thấy khi $k$ thỏa mãn $f(x,y)$ phân tích thành nhân tử, đồ thị 2D của nó sẽ thường tồn tại một đường thẳng

Xét đường thẳng đó, chính là mối quan hệ $x=ay+b$
Thế $x=ay+b$ rồi phân tích PT(1) thành nhân tử, PT(2) thành nhân tử

-> Thấy được PT(1) = mấy lần PT(2)
-> Tìm được $k$
Ý tưởng chợt đến có thế thôi

___________

Trong lúc đọc sách thấy số phức có nhiều điểm hay -> Biết cách tổng hợp lực bằng số phức

___________
Tiếp:

Kỳ 2 Lớp 10

Tình cờ đọc lại sáng tạo bđt của Phạm Kim Hùng -> Thấy mấy cái trong đó chẳng giống mấy bài thi đại học đã làm ...

Đọc đến chỗ $Jensen$. Chứng minh thì ảo (chẳng quan tâm cái đó làm gì). Rồi tìm hiểu Jensen bằng đồ thị ( dùng Geogebra )

Đã hiểu -> Chẳng khác gì đạo hàm, đi thi mà làm lại mất công chứng minh lại

-> Liên hệ với cách đặt hệ số ... -> Liên hệ với UTC -> "Thủ thuật 7: Dùng CASIO để làm Bất Đẳng Thức nhiều biến đối xứng"

___________

Còn một cái nữa là tìm nghiệm của phương trình vô tỷ ...

Theo cách lớp 9 là chỉ cần tìm A, B rồi tính $A+B, AB$ rồi vi-et

Tuy nhiên, việc tìm ra nghiệm rất khó khăn . . . Toàn bình lên, phá, ra bậc 4, giải, ....

Lên kì 2 thì mình được làm nhiều phương trình vô tỷ hơn. Hiểu ra nghiệm vô tỷ $a+\sqrt{b}$ cũng chỉ để thay vào $PT$ vô tỷ -> Mất hết $\sqrt{b}$

-> Hiểu được ý đồ -> Cách tìm nghiệm phương trình vô tỷ (chẳng nhớ là cái này post chưa nữa)

___________
Lớp 11: nghỉ Toán, học Lý. Giờ mới học đến Điện xoay chiều Lý 12 (chơi nhiều quá). Nhưng cũng chính số phức lại giúp ích nhiều cho phần này ...
Còn dao động điều hòa đã có mấy công thức áp dụng tích phân để giải ! Sóng cơ dùng Table (MODE 7)

___________
Thứ ba: Giờ anh lên Đại Học rồi, còn em vẫn chỉ mới lên lớp 11. Nhưng kiến thức Toán ở Đại Học em hơn anh nhiều ! Lẽ nào anh nghĩ em không sáng tạo ra mấy cái thủ thuật vớ vẩn ấy ...

Thứ tư: Đây cũng chỉ là chuyện "muỗi". Nhận thức tùy thuộc vào mỗi người, sáng tạo không theo lứa tuổi !

Giống như Thomas Edison và Joseph Swan độc lập sáng tạo ra bóng đèn, hay Faraday và Henry độc lập nghĩ ra hiện tượng cảm ứng điện từ (nhưng rồi Faraday được tụ điện, Henry được cuộn cảm)
....

Anh aphuong1995 biết không ? Ở Đông Tân, xã Tam Hòa có thằng bé lớp 7 đã nghĩ ra cái này rồi đó ! (đừng khinh người nhỏ tuổi hơn mình)

 

 

(Sao chép xin ghi rõ nguồn: diendantoanhoc.net hoặc tác giả "Bùi Thế Việt")

 

CÁC THỦ THUẬT CASIO

(Tác giả : Bùi Thế Việt, 11 Toán 2, THPT Chuyên Thái Bình, Thái Bình)

 

Có lẽ có chút hiểu lầm ở đây rồi , anh cần đọc thật kĩ lời nói đầu của chủ top chứ !

 

Nhược điểm được tìm thấy từ link của aphuong1995 dẫn đây : Nhược điểm: chỉ hoạt động tốt khi kết quả có hệ số là 2 chữ số và bậc không quá x^3

Và trong topic này : Cách 2: Áp dụng cho bậc cao, hệ số nguyên
VD cần khai triển : $2(x+1)^3(x-1)^2-7(x^2+1)^2-8$ <<<<<< aphuong1995 thử đếm xem đây là đa thức bậc mấy ?

Xem ra có đồng minh rồi ...

Cái anh "aphuong1995" tưởng mỗi mình anh ấy nghĩ ra cái đó chắc...

Bạn có nhìn ra cái nay không
$x^2-2x+3-(x+1)\sqrt{x^2-2x+3} +2x-2=0$
Tính $\Delta = (x+1)^2 -4(2x-2) = (x-3)^2$
Từ đó suy ra $\sqrt{x^2-2x+3} = x-1$
$\sqrt{x^2-2x+3} = 2$

Cảm ơn bạn đã tư vấn!! cái này mình biết chứ!! Nhưng mà vẫn muốn tìm hiểu thêm các tách nhân tử theo kiểu trâu bò như bạn nthoangkute!!

Thực ra thì trường hợp trên chỉ là một trường hợp nhỏ để áp dụng.
Mình sẽ post nốt phần còn lại của thủ thuật này ...
_________
P/s: Nếu thay $x^2-2x+3-(x+1)\sqrt{x^2-2x+3} +2x-2=0$ thành $x^4-mx^2+n-(x+1)\sqrt{x^2-2x+3} =0$ thì xét $\Delta$ sao được.

Vì không EDIT được topic này nữa nên nhiều thủ thuật không được viết thêm !
Vì những thủ thuật được áp dụng cho thi đại học và tuyển sinh THPT nên việc giải Phương Trình bậc 4 có nghiệm dưới dạng căn trong căn là không cần thiết !
Tuy nhiên, không phải là không có cách giải !!!

VD1 : $x^4-10x^3+33x^2-30x-9=0$
Bước 1 : Tìm nghiệm thực : $$A=2,072611 \\ B=-0,2348887$$
Bước 2 : Giả sử PT có thêm 2 nghiệm phức là $C$ và $D$, theo Vi-ét ta có :
$$\left\{\begin{matrix}
A+B+C+D=10\\ 
ABCD=-9
\end{matrix}\right.
\Rightarrow 

\left\{\begin{matrix}
C+D=8,162277\\ 
CD=18,486832
\end{matrix}\right.

 
 

\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
A+B+C+D=10\\ 
(A+B)(C+D)=15\\
AB+CD=18\\
ABCD=-9
\end{matrix}\right. 
\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
A+B=5-\sqrt{10}\\ 
C+D=5+\sqrt{10}\\
AB=9-3\sqrt{10}\\
CD=9+3\sqrt{10}
\end{matrix}\right. $$

Lại có $$x^4-10x^3+33x^2-30x-9=0=(x^2-(A+B)x+AB)(x^2-(C+D)x+CD)$$
Suy ra OK !
P/s: Tham khảo cách dài ở đây : http://diendantoanho...-bằng-máy-tính/
Tuy nhiên, nếu PT có 4 nghiệm thì sao ?
VD2 : $x^4-2x^3-11x^2+14x+23=0$
Bước 1 : Giải PT có 4 nghiệm $A=2,333977; B=-1,0385319; C=3,4527454; D=-2,7481905$
Bước 2 : Thành thử : $AB+CD;AC+BD;AD+BC$ xem cái nào chẵn ...
$$\left\{\begin{matrix}
AB+CD=-11,9127122\\
AC+BD=10,9127122\\
AD+BC=-10
\end{matrix}\right.$$
Vậy ta có $$x^4-2x^3-11x^2+14x+23=(x^2-(A+D)x+AD)(x^2-(B+C)x+BC)$$
Rồi làm tương tự VD1 ta có :
$$\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
A+B+C+D=2\\ 
(A+D)(B+C)=-1\\
AD+BC=-10\\
ABCD=23
\end{matrix}\right. 
\Rightarrow \left\{\begin{matrix}
A+D=1-\sqrt{2}\\ 
B+C=1+\sqrt{2}\\
AD=-5-\sqrt{2}\\
BC=-5+\sqrt{2}
\end{matrix}\right. $$
Suy ra OK !

Một số thủ thuật khác tuy không được hay nhưng khá ảo ...
VD: Tính tích phân, nguyên hàm : $$\int \dfrac{17x^3+12x+14}{(x-1)^3(x+1)^2(x^2+1)^2} dx$$
[klq nhưng hôm nay ngày 17/12/2014]
Lời giải vô cùng ngắn gọn :
$$\dfrac{17x^3+12x+14}{(x-1)^3(x+1)^2(x^2+1)^2}
=\dfrac{43}{16(x-1)^3}-\dfrac{33}{8(x-1)^2}+\dfrac{265}{64(x-1)}+\dfrac{15}{32(x+1)^2}-\dfrac{21}{64(x+1)}+\dfrac{19x^2-9x}{8(x^2+1)^2}-\dfrac{51+61x}{16(x^2+1)}$$
Vì đề thi ĐH chẳng bao giờ cho khó thế này nên mình cũng chẳng dại gì up lên ...
Nhưng khá hay đó ! Thủ thuật này có thể không cần nháp một tẹo nào cũng có thể viết được trực tiếp đáp án lên giấy biểu thức kia ...

(Sao chép xin ghi rõ nguồn: diendantoanhoc.net hoặc tác giả "Bùi Thế Việt")

 

CÁC THỦ THUẬT CASIO

(Tác giả : Bùi Thế Việt, 11 Toán 2, THPT Chuyên Thái Bình, Thái Bình)

 

Thủ thuật 1: Khai triển đa thức hệ số nguyên hoặc hệ số là phân số nhỏ
(Cái này áp dụng rất nhiều trong việc giải toán)

a) Hệ số nguyên
Nội dung: Ta nên nhớ một điều như sau:
Giả sử khi khai triển đa thức thì đa thức có dạng: $a_n x^{n}+a_{n-1} x^{n-1}+...+a_1x+a_0$
Tại $x=10$ thì đa thức có giá trị là $\overline{a_na_{n-1}...a_1a_0}$
Tại $x=100$ thì đa thức có giá trị là $\overline{a_n0a_{n-1}0...0a_10a_0}$

Tại $x=1000$ thì đa thức có giá trị là $\overline{a_n00a_{n-1}00...00a_100a_0}$
...
Chắc bạn sẽ khó hiểu về cái này ! Nhưng hãy ấn phím trên CASIO và làm theo các bước sau là bạn sẽ hiểu ngay:
Bước 1: Nhập đa thức :$9X^3+2X^2+7X+1$
Bước 2: Ấn CALC, máy hỏi $X?$
Bước 3: Nhập $10$ và ấn nút $=$. Bạn sẽ thấy kết quả là $9271$. Ấn tiếp "=", máy hỏi $X?$
Bước 4: Nhập $100$ và ấn nút $=$. Bạn sẽ thấy kết quả là $9020701$. Ấn tiếp "=", máy hỏi $X?$
Bước 5: Nhập $1000$ và ấn nút $=$. Bạn sẽ thấy kết quả là $9002007001$
Vậy chắc bạn đã hiểu, nếu không hiểu Comment bên dưới

Nhưng nếu những hệ số là số nguyên âm thì sao ? Lại tìm hiểu tiếp nhé !

Bước 1: Nhập đa thức :$9X^3-2X^2-7X+1$
Bước 2: Ấn CALC, máy hỏi $X?$
Bước 3: Nhập $10$ và ấn nút $=$. Bạn sẽ thấy kết quả là $8731$. Ấn tiếp "=", máy hỏi $X?$
Bước 4: Nhập $100$ và ấn nút $=$. Bạn sẽ thấy kết quả là $8979301$. Ấn tiếp "=", máy hỏi $X?$
Bước 5: Nhập $1000$ và ấn nút $=$. Bạn sẽ thấy kết quả là $8997993001$. Ấn tiếp "=", máy hỏi $X?$
Bước 6: Nhập $10000$ và ấn nút $=$. Bạn sẽ thấy kết quả là $8999799930001$

Nhận xét: Nếu số bạn nhập là $10^x$ (tức là số $\overline{100...0}$ với $x$ số $0$), hãy chia kết quả thành các khoảng $x$ chữ số từ phải sang trái. VD: $8997993001$ thì là $8|997|993|001$ hoặc $8999799930001$ thì là $8|9997|9993|0001$
Gọi giá trị khoảng thứ $t$ ($t \leq n$) là $k_t$ thì ta có:
+ Nếu $k$ có nhiều số $9$ thì hệ số $a_{t}=10^{x}-k_t$
+ Nếu $k$ có nhiều số $0$ thì hệ số $a_{t}=k_t$

P/s: Mình nói hơi khó hiểu và lòng vòng, tốt nhất là nên đọc luôn cách làm bên dưới:

Cách làm:
Cách 1: (Chỉ áp dụng cho các bài có hệ số $\leq 3$).
VD cần khai triển $2(x+1)^2(x-1)-7(x^2+1)-8$

Bước 1: Nhập đa thức ẩn $X$ với các hệ số nguyên và không quá cồng kềnh.
(VD $2(X+1)^2(X-1)-7(X^2+1)-8$)
Bước 2: Ấn CALC, máy hỏi $X?$, Ấn $1000$ và ấn $=$
Bước 3: Máy hiện ra kết quả là một số có nhiều chữ số, tách ra từng 3 chữ số một từ phải sang trái
(VD: Máy hiện $1994997983$ thì ta tách $1|994|997|983$)
Bước 4: Ta lần lượt tìm hệ số $a_0,a_1,...$ bằng cách sau:
Nhóm 3 chữ số thứ $k$ (tính từ phải sang trái) có giá trị là $M_k$, chữ số hàng trăm của $M_k$ là số $9$ thì chứng tỏ hệ số của $x^k$ sẽ là $M_k-1000$ (số âm), và giá trị của nhóm thứ $k+1$ sẽ có giá trị là $M_{k+1}+1$ (tăng thêm 1)
Nhóm 3 chữ số thứ $k$ (tính từ phải sang trái) có giá trị là $M_k$, chữ số hàng trăm của $M_k$ là số $0$ thì chứng tỏ hệ số của $x^k$ sẽ là $M_k$ (số dương)
(VD: Nhóm 1: $|983|$ thì hệ số $a_0$ là $-17$ và thêm 1 vào nhóm 2
Nhóm 2: $|997|$ thì hệ số $a_1$ là $-3+1=-2$ và thêm 1 vào nhóm 3
Nhóm 3: $|994|$ thì hệ số $a_2$ là $-6+1=-5$ và thêm 1 vào nhóm 4
Nhóm 4: $|001|$ thì hệ số $a_3$ là $1+1=2$)
Bước 5: Điền kết quả: $2(x+1)^2(x-1)-7(x^2+1)-8=2x^3-5x^2-2x-17$
Bước 6: Thử lại cho chắc ăn !
(Ấn $2(x+1)^2(x-1)-7(x^2+1)-8-(2x^3-5x^2-2x-17)$, gán giá trị $x=1,2,3,4,...$ mà thấy kết quả luôn =0 thì chắc là chính xác)

Nhận xét: Cách này không hay lắm, nếu làm quen thì chắc nhìn hệ số các nhóm là sẽ biết được ngày kết quả triển.

Cách 2: Áp dụng cho bậc cao, hệ số nguyên (Bậc cũng đừng cao quá, hì hì)
VD cần khai triển $2(x+1)^3(x-1)^2-7(x^2+1)^2-8$
Bước 1: Gán giá trị $x=1000$ hoặc $10000$ nếu thích.
(Tại $x=1000$ thì kết quả là $1,994995982$x$10^{15}$)
Bước 2: Nhìn vào giá trị sau dấu phảy, xem xét số bên cạnh nó ! Nếu số bên cạnh là $9$ thì hệ số bậc cao nhất là hệ số sau dấu phảy công 1, nếu là số $0$ thì dữ nguyên.
(Sau dấu phảy là số $1$, cạnh nó là số $9$, suy ra hệ số bậc cao nhất (bậc 5) là $2$)
Bước 3: Viết lại đa thức, sau đó trừ đi bậc cao nhất vừa tìm.
($2(x+1)^3(x-1)^2-7(x^2+1)^2-8-2x^5$)
Bước 4: Cho $x=1000$ thì kết quả là bậc đa thức sẽ giảm, tiếp tục làm như bước 2
(Tại $x=1000$ thì giá trị nhân được là $-5,004017998$x$10^{12}$. Do đó bậc hạ từ $15$ xuống $12$ nên đa thức có hệ số bậc 4 khác 0.
Sau dấu phảy là số $-5$, cạnh nó là số $0$ nên hệ số bậc 4 là $-5$
Ấn tiếp $2(x+1)^3(x-1)^2-7(x^2+1)^2-8-2x^5+5x^4$
Gán $x=100$ thì kết quả là $-4179813$, tách thành $-4|17|98|13|$ ta được hệ số bậc $3$ là $-4$, hệ số bậc $2$ là $-18$, hệ số bậc nhất là $2$, hệ số tự do là $-13$)
Bước 5: Ghi kết quả: $2(x+1)^3(x-1)^2-7(x^2+1)^2-8=2x^5-5x^4-4x^3-18x^2+2x-13$
Bước 6: Thử lại

Nhận xét: Làm nhiều mới quen, chứ cái này khó nói lắm. Cũng hay chứ nhỉ ?

b) Hệ số là phân số:
Bước 1: Tìm ước chung lớn nhất các mẫu mà ta dự đoán chúng sẽ góp mặt trong hệ số sau khi phân tích
Bước 2: Viết đa thức, có cả phân số, tất cả đa thức nhân với ước chung lớn nhất vừa tìm được
Bước 3: Làm như phần a)

P/s: Ai không hiểu cứ comment

Thủ thuật 2: Phân tích phương trình bậc 4 thành nhân tử (Cái này mình post lại)

Đối với phương trình bậc 4 dạng $f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e$ ta chia làm 2 mảng lớn:
*** Đầu tiên là phương trình $f(x)$ có nghiệm, ta xét:
- Nếu trong trường hợp bạn phải đi thi, kiểm tra thì bạn nên sử dụng máy tính CASIO $fx$ mà giải nhé, sau đây là hướng dẫn giải phương trình bậc 4 bằng Casio :
+Trường hợp 1: Bạn lấy máy tính, viết phương trình bậc 4 của bạn vào, ấn Shift + Solve và sau đó ấn "=" để giải phương trình bậc 4 đó:
@@1: Nếu máy tính hiện ra $X=$ một số nguyên cụ thể nào đó hoặc là số vô hạn có tuần hoàn (VD:1,3333333...)

thì bạn ấn AC, sau đó ấn RCL + X thì máy sẽ hiện lên chính xác nghiệm đó của bạn (số nguyên hoặc phân số tối giản).

Khi đó $f(x)$ có một nhân tử là $(x - X)$ (với X là nghiệm bạn vừa tính được).

Sau đó bạn sẽ phân tích thành $(x - X) (mx^3+nx^2+px+q)$.

Khi đó dùng máy tính để giải nghiệm phương trình bậc 3 nhé bằng cách vào Mode Mode Mode 1 rồi lần lượt ghi hệ số của nó vào nhé.

Từ đó bạn nhận được tất cả các nghiệm của $f(x)$ gồm X và 3 ngiệm của phương trình bậc 3 đó. . .


@@2: Nếu máy tính hiên ra $X=$ một số vô hạn không tuần hoàn, bạn chuyển sang Trường hợp 2(Cái này mới khó)

+Trường hợp 2:( Cái này là công thức bí mật đấy):

Khi tìm được 1 nghiệm của phương trình bậc 4 đó, bạn chuyển dữ liệu sang A bằng cách ấn Alpha X Shift Sto A

Sau đó bạn viết lại phương trình bậc 4 đó, Ấn Shift + Solve, máy hiện tiếp $X?$ bạn nhập 100 vào, ấn "=", ấn "=" để giải.

Khi đó máy sẽ tính một nghiệm nữa khác với nghiệm ban đầu.

Bạn chuyển dữ liệu nghiệm vừa tìm được sang B bằng cách ấn Alpha X Shift Sto B.

Sau đó bạn viết lại phương trình bậc 4 đó, Ấn Shift + Solve, máy hiện tiếp $X?$ bạn nhập -100 vào, ấn "=", ấn "=" để giải.

Khi đó máy sẽ tính một nghiệm nữa khác với nghiệm ban đầu.

Bạn chuyển dữ liệu nghiệm vừa tìm được sang C bằng cách ấn Alpha X Shift Sto C (Thế là đủ).

Cái này là xong nè: Ấn Alpha A + Alpha B rồi "=", nếu kết quả là số nguyên hoặc phân số thì bạn ấn tiếp Alpha A Alpha B rồi "=" để
tính được tích của 2 số đó.

Khi ấy áp dụng định lý Viét đảo ta được $f(x)$ có một nhân tử là $x^2 - (A+B)x + AB$ (Hay chưa).

Còn nếu A+B không là số nguyên hoặc số vô hạn có tuần hoàn (Tức là phân số ấy) thì Bạn làm tương tự với tổng B+C, C+A từ đó tìm được nhân tử của $f(x)$

Nói không bằng làm, bạn hãy làm theo ví dụ sau, chắc bạn sẽ hiểu:


$x^4+3x^3-4x^2-11x+5=0$
Ta ấn phím trên máy tính CASIO như sau:
Viết PT $x^4+3x^3-4x^2-11x+5=0$ trên máy tính CASIO fx-570MS hoặc fx-570ES.
Ấn shift + SOLVE
Máy hỏi X?
Ấn 10 = (Nếu là máy fx-570ES thì không cần làm tiếp, đối với máy fx-570MS thì ấn tiếp Shift SOLVE)

Sau một hồi, máy hiện X=1,791287847

Ấn AC,

Ấn Alpha X Shift STO A
_______________________________________________________________
Viết lại phương trình : $x^4+3x^3-4x^2-11x+5=0$

Ấn shift + SOLVE

Máy hỏi X?

Ấn -10 = (Nếu là máy fx-570ES thì không cần làm tiếp, đối với máy fx-570MS thì ấn tiếp Shift SOLVE)

Sau một hồi, máy hiện X= - 2,791287847

Ấn AC,

Ấn Alpha X Shift STO B
______________________________________________________

Viết lại phương trình : $x^4+3x^3-4x^2-11x+5=0$

Ấn shift + SOLVE

Máy hỏi X?

Ấn -1 = (Nếu là máy fx-570ES thì không cần làm tiếp, đối với máy fx-570MS thì ấn tiếp Shift SOLVE)

Sau một hồi, máy hiện X= 0,4142135624

Ấn AC,

Ấn Alpha X Shift STO C
________________________________________________________________
Nhận xét:
Ấn Alpha B + Alpha C =

Máy hiện : -2,377074285

Ấn Alpha C + Alpha A =

Máy hiện : 2,20550141

Ấn Alpha A + Alpha B =

Máy hiện : -1
_____________________________

Chứng tỏ trong các tổng A+B, B+C, C+A thì chỉ thấy A+B nguyên (hoặc là một số vô hạn tuần hoàn)

Ấp tiếp Alpha A x Alpha B =

Máy hiện : -5

Chứng tỏ A, B là nghiệm của phương trình bậc 2 ẩn x : $x^2 - (A+B)x+AB=0$

Mà A+B= -1, A.B= -5

Suy ra A, B là nghiệm của phương trình $x^2+x-5=0$

Mà A, B cũng là nghiệm của phương trình: $x^4+3x^3-4x^2-11x+5=0$

Suy ra $x^4+3x^3-4x^2-11x+5$ khi phân tích nhân tử có một nhân tử là $x^2+x-5$

Suy ra $x^4+3x^3-4x^2-11x+5 = (x^2+x-5)(ax^2+bx+c)$

Từ đó ta phân tích thành nhân tử được


Bài tập áp dụng:
${x}^{4}+3\,{x}^{3}-4\,{x}^{2}-11\,x+5=0$
${x}^{4}+12\,{x}^{3}+21\,{x}^{2}-24\,x+5=0$
${x}^{4}-6\,{x}^{3}-132\,{x}^{2}+885\,x+500=0$
$10\,{x}^{4}+27\,{x}^{3}-16\,{x}^{2}-45\,x+28=0$
$10\,{x}^{4}+27\,{x}^{3}+245\,{x}^{2}+306\,x+1288=0$
${x}^{4}+9\,{x}^{3}+20\,{x}^{2}+9\,x+1=0$


Thủ thuật 3: Phân tích đa thức bậc cao thành nhân tử (Tổng quát của thủ thuật 2)

Nhận xét: Đôi khi ta thấy những bài phương trình vô tỷ mà chỉ cần nhìn là thấy bình phương lên ra phương trình bậc cao cho nó lành ( = Bước đường cùng - Nguyễn Công Hoan) nhưng chính việc khai triển nó, phân tích thành nhân tử khiến chúng ta nản. Nhưng phương pháp sau đây sẽ giúp ích phần nào điều đó.

Nội dung: Trước tiên, cần xác định bậc của đa thức, để khi phân tích thành nhân tử ta sẽ kiểm tra xem có thiếu nhân tử nào không ! VD: $(x^2+1)^2(x^2+5x+4)-21x^3-36x^2-7x+2$ có bậc là $6$
Sau đó, xác định khoảng chứa nghiệm của phương trình, giống như phương trình bậc 4

Cách làm:
Cách 1: Áp dụng cho những bài mà nhân tử của nó là đa thức bậc < 3
Bước 1: Nhập đa thức: $(x^2+1)^2(x^2+5x+4)-21x^3-36x^2-7x+2$
Bước 2: Giải nghiệm phương trình, cho $X$ là điểm giữa khoảng nghiệm
VD: $0.414213562, -2.414213562, 1.618033988, -0.6180339880$
Bước 3: Cố tìm xem các nghiệm ấy là nghiệm của phương trình bậc 2 hay bậc 3 nào ?
VD: $x^2-x-1=0$ và $x^2+2x-1=0$
Bước 4: Viết luôn ra vở rằng PT tương đương với $(x^2-x-1)(x^2+2x-1)(...)$ với ... là một tam thức bậc 2 có dạng $ax^2+bx+c$. Quan trọng bây giờ là tìm $a,b,c$
Bước 5: Vì hệ số bậc cao nhất phương trình bậc 6 là 1 nên $a=1$, hệ số tự do bằng $6$ nên $c=6$
Bước 6: Viết ra máy tính như sau: $(x^2+1)^2(x^2+5x+4)-21x^3-36x^2-7x+2-(x^2-x-1)(x^2+2x-1)(x^2+Ax+6),A$
Bước 7: Ấn Shift + Solve để giải phương trình trên theo $A$. Đầu tiên cho $X=1,2,3,...$ mà khi giải, ta luôn được $A=4$, do đó $b=4$
Bước 8: Viết tiếp $(x^2+4x+6)$
Bước 9: Thử lại

Nhận xét: Cách này hơi hạn chế

Cách 2: (Một số bài toán khi bình phương để giải phương trình bậc cao, lại ra một tam thức bậc 2 nhân với một đa thức bậc 4 hoặc bậc 3, cách này vẫn gần giống cách 1 nhưng nó giúp chúng ta tìm được nhân tử phương trình còn lại. Cách này áp dụng thủ thuật 1.)

VD: Giải phương trình $(x^2+1)^2(x^2+5x+4)-21x^3-26x^2-17x-8=0$

Bước 1: Tìm các nghiệm phương trình, thấy phương trình có đúng 2 nghiệm và từ đó ta có nhân tử
$(x^2-x-1)$ (Như cách 1)
Bước 2: Ta sẽ tìm nốt nhân tử bậc 4 còn lại, cách làm như sau:
Viết lên máy tính: $\dfrac{(x^2+1)^2(x^2+5x+4)-21x^3-26x^2-17x-8}{x^2-x-1}$
Bước 3: Cho $x=1000$ thì ta được kết quả là $1,006013008$x$10^{12}$
Chứng tỏ hệ số bậc 4 là $1$
Bước 4: Viết tiếp $\dfrac{(x^2+1)^2(x^2+5x+4)-21x^3-26x^2-17x-8}{x^2-x-1}-x^4$
Cho $x=1000$ ta được $6013008004$ nên ta được phương trình bậc 4 là:
$x^4+6x^3+13x^2+8x+4$
Bước 5: Viết : $(x^2-x-1)(x^4+6x^3+13x^2+8x+4)=0$
Bước 6: Chứng minh phương trình bậc 4 kia vô nghiệm (Xem thủ thuật 4)
Bước 7: Kết luận (Cái này nhiều người thiếu)

Nhận xét: Thủ thuật này làm mất đi trí óc, tư duy con người nên không khuyến cáo dùng cách này...

Thủ thuật 4: Chứng minh phương trình bậc 4 vô nghiệm: (Post lại bài mình đã post)

Thêm một phương pháp "tủ" của mình, đó là cách chứng minh phương trình bậc 4 vô nghiệm ! (Ai không hiểu gì cứ pmmmm nha, nhưng cũng hơi đau đầu đấy)
_________________________
Xét PT $f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$ với $d>0$ và $a,b,c$ là các hệ số.
Khi bạn giải mãi cái này mà không ra nghiệm (Can't solve), bạn hãy chứng minh phương trình vô nghiệm

Ví dụ 1: Giải phương trình: $x^4-6x^3+16x^2-22x+16=0$

Cách 1: Cách ăn may: đó chính là $f(x)$ phân tích thành 2 cái bậc 2 cộng với một hệ số tự do không âm,
giống như $f(x)=x^4-6x^3+16x^2-22x+16$

Khi đó $f(x)=(x^2-2x+3)(x^2-4x+5)+1>0$

[?] Vậy tại sao lại có thể phân tích thành cái này, đó là câu hỏi khó ?

Cách làm ở đây là đặt $f(x)=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)+e$
Suy ra $f(x)=x^4+(a+c)x^3+(d+ac+b)x^2+(bc+ad)x+bd+e$
Đồng nhất với đa thức ban đầu là $f(x)=x^4-6x^3+16x^2-22x+16$
Ta có:
$$\left\{\begin{matrix}
a+c=-4\\
d+ac+b=16\\
bc+ad=-22\\
bd+e=16
\end{matrix}\right.$$
Từ đó dễ dàng suy ra $a=-2, \;b=3, \;c=-4, \; d=5, \; e=1$ nhờ phương pháp mò (Vì đây là cách ăn may mà)

Cách 2: (Cách này ảo nhất, bây giờ tui mới phát hiện ra)

Cũng từ: $A=f(x)=x^4-6x^3+16x^2-22x+16$

Ta sẽ chứng minh $f(x)>0$ bằng cách đặt $x=y-\frac{a}{4}$, để mất đi hệ số của $y^3$

Đặt $x=y+\frac{3}{2}$

Biểu thức đã cho trở thành:
$$A=y^4+\frac{5y^2}{2}-y+\frac{61}{16}=y^4-2m y^2+m^2+(2m+\frac{5}{2})y^2-y+\frac{61}{16}-m^2$$

(Chỗ này khá ảo, nhưng hay)

Cần tìm $m > -\frac{5}{2}$ để PT $(2m+\frac{5}{2})y^2-y+\frac{61}{16}-m^2$ vô nghiệm (khi đó nó mới >0)

Thì $\Delta = <0$

Tìm bất kì số $m$ nào thỏa mãn BĐT kia và phải thỏa mãn $m> \frac{5}{2}$

Có nhiều $m$ thỏa mãn lắm, VD: $m=0$ hoặc $m=-1$ hoặc $m=1$ là đẹp mắt nhất

Chọn một cái và làm !

Giả sử:

a) $m=-1$ thì $A=(y^2+1)^2+\frac{3}{2}(y-\frac{1}{3})^2+\frac{175}{48}$
Suy ra $A= (x^2-3x+\frac{13}{4})^2+\frac{3}{2}(x-\frac{11}{6})^2+\frac{175}{48}>0$

b) $m=0$ thì $A=y^4+\frac{5}{2}(y-\frac{1}{5})^2 +\frac{297}{80}$
Suy ra $A=(x-\frac{3}{2})^4+\frac{5}{2}(x-\frac{17}{10})^2 +\frac{297}{80}>0$

c) $m=1$ thì $A=(y^2-1)^2+\frac{7}{2}(y-\frac{1}{7})^2+\frac{419}{112}$
Suy ra $A=(x^2-3x+\frac{5}{4})^2+\frac{7}{2}(x-\frac{23}{14})^2+\frac{419}{112}$

_______________________

Nhận xét: Nhưng các bạn cũng không nên lợi dụng nó quá, giống như minhtuyb đã nhận xét:


"Mình cũng chia sẻ chút chỗ này :
Khi đã ra $A=y^4+\frac{5y^2}{2}-y+\frac{61}{16}$ thì trước khi chọn hệ số $m$ thích hợp như trên nên kiểm tra xem tam thức bậc hai $\frac{5y^2}{2}-y+\frac{61}{16}$ có vô nghiệm hay không:
+) Nếu vô nghiệm $(\Delta <0)$ thì ta phân tích thẳng luôn: $A=y^4+\frac{5}{2}(y-\frac{1}{5})^2+\frac{297}{80}$, tức là chọn $m=0$ để đỡ mất công cho phần sau
+) Nếu có nghiệm thì lại phải lục cục đi tìm $m$ thôi "

________________________

Để không phải xét như thế, mình post một VD khác để có thể áp dụng hoàn toàn :

Ví Dụ 2: Giải phương trình $12x^4-108x^3+312x^2+183x+119=0$
___________

Nhận xét: Trước khi bắt tay vào giải phương trình, các bạn phải kiểm chứng rằng phương trình có nghiệm hay không !!!
Mình khuyên các bạn nên dùng Máy Tính Bỏ túi Casio để giải phương trình, nếu nó báo Can't solve thì chắc là phương trình không có nghiệm

Hướng làm: (Cái này trong nháp)
Ta thấy $12x^4-108x^3+312x^2+183x+119=0 \Leftrightarrow {x}^{4}-9\,{x}^{3}+26\,{x}^{2}+{\frac {61}{4}}\,x+{\frac {119}{12}}=0$
Đặt $A={x}^{4}-9\,{x}^{3}+26\,{x}^{2}+{\frac {61}{4}}\,x+{\frac {119}{12}}$
Giống như phương trình bậc 4 tổng quát có dạng $f(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d=0$ thì bạn đặt $x=y-\frac{a}{4}$ rồi rút gọn lại

Vậy đặt $x=y-\frac{-9}{4}$
Suy ra $$A=(y-\frac{-9}{4})^4-9(y-\frac{-9}{4})^3+26(y-\frac{-9}{4})^2+\frac{61}{4}(y-\frac{-9}{4})+\frac{119}{12}$$
$$={y}^{4}+9\,{y}^{3}+{\frac {243}{8}}\,{y}^{2}+{\frac {729}{16}}\,y+{
\frac {6561}{256}} -9\,{y}^{3}-{\frac {243}{4}}\,{y}^{2}-{\frac {2187}{16}}\,y-{\frac {
6561}{64}}+26\,{y}^{2}+117\,y+{\frac {1053}{8}}+{\frac {61}{4}}\,y+{\frac {2123}{48}}$$
$$={y}^{4}-{\frac {35}{8}}\,{y}^{2}+{\frac {329}{8}}\,y+{\frac {76007}{
768}}$$

Bước tiếp theo là cộng hệ số thích hợp:
$$A={y}^{4}-{\frac {35}{8}}\,{y}^{2}+{\frac {329}{8}}\,y+{\frac {76007}{
768}}$$
$$=y^4-2my^2+m^2+ \left( 2\,m-{\frac {35}{8}} \right) {y}^{2}+{\frac {329}{8}}\,y-{m}^{
2}+{\frac {76007}{768}}$$

Để $A>0$ thì ta sẽ tìm $m> \frac{35}{16}$ để phương trình $ \left( 2\,m-{\frac {35}{8}} \right) {y}^{2}+{\frac {329}{8}}\,y-{m}^{
2}+{\frac {76007}{768}}=0$ vô nghiệm

Hay $\Delta ={\frac {108241}{64}}-4\, \left( 2\,m-{\frac {35}{8}} \right) \left( -
{m}^{2}+{\frac {76007}{768}} \right) =8\,{m}^{3}-{\frac {35}{2}}\,{m}^{2}-{\frac {76007}{96}}\,m+{\frac {
5258029}{1536}} <0$

(Nếu bạn muốn tìm nhanh mà không mất công rút gọn biểu thức thì hãy nhập $\Delta$ vào máy tính Casio rồi ấn Calc.
Máy hỏi M? Ấn thử xem với $M$ bằng bao nhiêu thi kết quả là một số âm)

Có nhiều giá trị của $m$ thỏa mãn BĐT đấy, ta chọn lấy cái đẹp nhất nhưng mà thỏa mãn $m > \frac{35}{16}$

VD: Ta lấy $m$ bất kì chỉ cần thỏa mãn $\frac{51}{10} \leq m \leq \frac{39}{5}$ là BĐT kia đúng !!!

(Cách tìm $m$ nhanh mà không phải mò !... Vào mode EQN, ấn cách hệ số của PT bậc 3 vào lần lượt $a, \; b, \;c$ rồi máy sẽ tính được 3 nghiệm, rồi lập bảng xét dấu là xong)

Cho $m=6$ hay $m=7$ thì ta được:

Nếu $m=6$ thì $ \left( 2\,m-{\frac {35}{8}} \right) {y}^{2}+{\frac {329}{8}}\,y-{m}^{
2}+{\frac {76007}{768}}={\frac {61}{8}}\,{y}^{2}+{\frac {329}{8}}\,y+{\frac {48359}{768}}={\frac {61}{8}}\, \left( y+{\frac {329}{122}} \right) ^{2}+{\frac {
352115}{46848}}$
Do đó $A=(y^2-6)^2+{\frac {61}{8}}\, \left( y+{\frac {329}{122}} \right) ^{2}+{\frac {
352115}{46848}} = ({x}^{2}-\frac{9}{2}\,x-{\frac {15}{16}})^2+{\frac {61}{8}}\, \left( x+{\frac {109}{244}} \right) ^{2}+{\frac {
352115}{46848}}>0$

Nếu $m=7$ thì $\left( 2\,m-{\frac {35}{8}} \right) {y}^{2}+{\frac {329}{8}}\,y-{m}^{
2}+{\frac {76007}{768}}={\frac {77}{8}}\,{y}^{2}+{\frac {329}{8}}\,y+{\frac {38375}{768}}={\frac {77}{8}}\, \left( y+{\frac {47}{22}} \right) ^{2}+{\frac {51013
}{8448}}$
Do đó $A=(y^2-7)^2+{\frac {77}{8}}\, \left( y+{\frac {47}{22}} \right) ^{2}+{\frac {51013
}{8448}}=({x}^{2}-\frac{9}{2}\,x-{\frac {31}{16}})^2+{\frac {77}{8}}\, \left( x-{\frac {5}{44}} \right) ^{2}+{\frac {51013}
{8448}}>0$

Do đó có nhiều cách chứng minh phương trình bậc 4 vô nghiệm, nhưng lời giải thì rất ngắn gọn:

Lời giải 1: (cái làm làm luôn vào bài)
Ta có: $12x^4-108x^3+312x^2+183x+119=0$
$\Leftrightarrow 12\, \left( {x}^{2}-\frac{9}{2}\,x-{\frac {15}{16}} \right) ^{2}+{\frac {183}{
2}}\, \left( x+{\frac {109}{244}} \right) ^{2}+{\frac {352115}{3904}}=0$
Vô lý do VT > 0 với mọi $x$

Lời giải 2:
Ta có: $12x^4-108x^3+312x^2+183x+119=0$
$\Leftrightarrow 12\, \left( {x}^{2}-\frac{9}{2}\,x-{\frac {31}{16}} \right) ^{2}+{\frac {231}{
2}}\, \left( x-{\frac {5}{44}} \right) ^{2}+{\frac {51013}{704}}=0$
Vô lý do VT > 0 với mọi $x$

__________________________________
Nhận xét: 2 lời giải trên thật ngắn gọn, nhưng lại phải có một "công trình" nghiên cứu như trên, nhưng còn với phương trình bậc 6, 8, ... thì lại phải làm một hướng khác !
Vì dụ ở dưới sẽ giúp bạn thành thạo hơn !!!

Thủ thuật 5: (Vật lý) Tổng hợp lực (Cái này mình thích lắm)

Nội dung: Áp dụng đặc điểm số phức
Cách làm:
Cho các vecto lực: $\overrightarrow{F_0},\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},\overrightarrow{F_3},...,\overrightarrow{F_n}$ biết góc tạo bởi $\overrightarrow{F_0}$ với các $\overrightarrow{F_1},\overrightarrow{F_2},...\overrightarrow{F_n}$ là $\alpha_1,\alpha_2,...,\alpha_n$

Hợp lực của nó và góc tạo bởi vecto hợp lực với $\overrightarrow{F_0}$ được tính như sau:
Bước 1: Ấn Shift + MODE, ấn $\bigtriangledown $, chọn CMPLX, chọn $r\angle \theta $
Bước 2: Vào Mode, chọn CMPLX
Bước 3: Ấn như sau: $F_0\angle 0+F_1 \angle \alpha_1 +F_2 \angle \alpha_2 +...+F_n \angle \alpha_n$
Ấn $=$ là ta được kết quả !

Nhận xét: Mình nghĩ là thủ thuật 5 giúp rất nhiều trong những bài toán về lực, động lượng, điện tích, ...

Thủ thuật 6: Phân tích đa thức chứa căn thức thành nhân tử (Cái này thì hơi khó hiểu, làm nhiều sẽ quen)

Nội dung: Có khá nhiều cách và cũng khá nhiều trường hợp để sử dụng thủ thuật này, mình chỉ nêu vài thủ thuật chính, nhưng đảm bảo sẽ giúp ích cho các bạn rất rất nhiều

Cách 1: (Đối với đa thức chứa một căn thức bậc nhất, có dạng $f(x)=g(x)+h(x)\sqrt{ax+b}$
(VD: $f(x)=2x^2-3x+2-x\sqrt{3x-2}$)
Bước 1: Đặt $t=\sqrt{ax+b}$ (tức $t=$ cái căn thức)
($t=\sqrt{3x-2}$)
Bước 2: Viết đa thức theo $t$ (Do $t=\sqrt{ax+b}$ nên $x=\frac{t^2-b}{a}$)
($f(x)=2\, \left( \frac{1}{3}\,{t}^{2}+\frac{2}{3} \right) ^{2}-{t}^{2}- \left( \frac{1}{3}\,{t}^{2}+
\frac{2}{3} \right) t$)
Bước 3: Áp dụng thủ thuật 1 để phân tích thành nhân tử
($f(x)=\frac{1}{9} (t-1)(t-2)(2t^2+3t+4)$)
Bước 4: Thế $t=\sqrt{ax+b}$ vào nhân tử vừa tìm được
($f(x)=\frac{1}{3}\, \left( \sqrt {3\,x-2}-1 \right) \left( \sqrt {3\,x-2}-2
\right) \left( 2\,x+\sqrt {3\,x-2} \right) $)
Bước 5: Viết luôn kết quả và xem giải.

Nhận xét: Cách này khá ảo diệu, nhưng rất dễ lộ liễu phương pháp. Để tránh người khác khó hiểu hay tò mò về phương pháp này thì tốt hơn hãy làm như sau: (VD $f(x)=2x^2-3x+2-x\sqrt{3x-2}$)
Đặt $t=\sqrt{3x-2}$ ta được $t^2=3x-2$
Khi đó $f(x)=2x^2-xt-t^2=(2x+t)(x-t)$
Suy ra ...
(Thực ra nó chính là phương pháp hằng số biến thiên)

Cách 2: (Đối với đa thức chứa ít căn thức, thường là một hoặc hai hoặc ba căn thức, biểu thức trong căn là một đa thức bậc cao)

Nội dung: Khó nói nhưng dễ hiểu !!!

Phần 1: Nghiệm vô tỷ

Lưu ý: Chỉ nghiệm vô tỷ mới áp dụng đấy
Cách làm: VD như phương trình vô tỷ này: $x^2+1-(x+1)\sqrt{x^2-2x+3} =0$ (theo provotinhvip)
Bước 1: Viết vào CASIO, giải phương trình này, ta được các nghiệm $1 \pm \sqrt{2}$
Bước 2: Tính giá trị biểu thức trong căn: $\sqrt{x^2-2x+3}=2$
Bước 3: Suy ra 100% sẽ có nhân tử $(\sqrt{x^2-2x+3}-2)$
Bước 4: Do kiểu gì cũng có nhân tử $(\sqrt{x^2-2x+3}-2)$ nên đến đây là rất dễ rồi còn gì !!!
Bước 5: Đọ kết quả

VD2: $6\,{x}^{3}-18\,{x}^{2}+8\,x+4+ \left( 3\,{x}^{2}-6\,x-4 \right) \sqrt
{{x}^{2}-2\,x+7}=0$
Bước 1: Giải nghiệm, cũng được $x=1+\sqrt{2}$
Bước 2: Tính giá trị của căn: $ \sqrt
{{x}^{2}-2\,x+7}=2\sqrt{2}$
Bước 3: Vì đa thức hệ số hữu tỷ nên 100% nhân tử cũng hữu tỷ, suy ra $ \sqrt
{{x}^{2}-2\,x+7}=2\sqrt{2}=2x-2$
Bước 4: Suy ra 100% sẽ có nhân tử $\sqrt
{{x}^{2}-2\,x+7}-2x+2$
Bước 5: Trừ đa thức, làm tiếp ta được phương trình tương đương với:
$$\left( \sqrt {{x}^{2}-2\,x+7}-2\,x+2 \right) \left( \left( \sqrt {{
x}^{2}-2\,x+7}+2\,x-2 \right) ^{2}+1 \right)
=0$$
Bước 6: OK?

Phần 2: Nghiệm hữu tỷ (Cực kì quan trọng, áp dụng cực nhiều)
Tham khảo: http://diendantoanho...ệ-phương-trình/
 
Thủ thuật 7: Dùng CASIO để làm Bất Đẳng Thức nhiều biến đối xứng
Phần 1: Điều kiện với tổng
Thực ra đây chỉ là một phần nhỏ của phương pháp UCT, khá hay cho việc làm BĐT ...
Nội dung: Tham khảo bài viết của viet 1846 ở đây: http://diendantoanho...ố-bất-dịnh-uct/
Để dễ hình dung, xét VD sau: http://diendantoanho...-frac12-ageq-3/
 
Ví Dụ: Cho a,b,c dương thõa mãn $\sum a^{2}=3$,CmR $\sum \frac{1}{2-a}\geq 3$
 
Hướng làm: Tìm $k$ và $m$ để $$ \frac{1}{2-a} \geq ka^2+m$$
Nhìn vào bài toán là thấy điểm rơi $a=b=c=1$, do đó, đạo hàm hai vế rồi cho $a=1$ ta sẽ tìm được $k$
Tức là: $$k=\dfrac{\left .\dfrac{d}{dx}\left (\dfrac{1}{2-x}  \right )  \right |_{x=1}}{\left .\dfrac{d}{dx}\left (x^2 \right )  \right |_{x=1}}$$
Cứ gõ nguyên cái này vào CASIO fx570ES là thấy ngay...
Sau khi tìm được $k=\frac{1}{2}$, lại thấy điểm rơi $a=1$ và $ \frac{1}{2-a} = ka^2+m$ nên ta được $m=\frac{1}{2}$
Sau khi tìm được $k$ và $m$, ta phải chứng minh lại BĐT mình vừa nêu ra, tức là:
$$\frac{1}{2-a} \geq \frac{a^2+1}{2}$$ với mọi $0<a<2$
Cái này có thể đúng, có thể sai
Nếu luôn đúng thì ngon rồi, chứng minh tương tự với $b,c$ ta được Q.E.D
Nếu chưa chắc đúng thì ta dùng tới $Jen-sen$, hoặc hàm lồi
 
Tóm lại, tổng quát luôn: Giả thiết: $g(a)+g(b)+g(c)=x$, cần tìm cực trị của $f(a)+f(b)+f(c)$
Điểm rơi của bài là $a=b=c=x_0$
Ta cần tìm $k$ và $m$ thỏa mãn: $f(a) \geq k g(a)+m$
Khi đó $$k=\dfrac{\left .\dfrac{d}{dx}f(x)  \right |_{x=x_0}}{\left .\dfrac{d}{dx}g(x)  \right |_{x=x_0}}$$
Còn $m=f(x_0)-kg(x_0)$. Sau đó chứng minh lại thôi
 
Phần 2: Với điều kiện dạng tích:
Giả thiết cho $abc=t$, tìm cực trị của $f(a)+f(b)+f( c )$
Kiểu gì thì chúng ta cũng đưa dạng $abc=t$ thành $xyz=1$
Tức là cho $xyz=1$, tìm cực trị của $f(x)+f(y)+f(z)$

Để ý rằng: $\ln x+\ln y+\ln z=\ln xyz=0$ nên ta chỉ cần tìm $k$ và $m$ sao cho BĐT sau luôn đúng:
$$f(x) \geq k \ln x+m$$
_____________
Tìm $k$ nhanh: $$k=\left (\left .\dfrac{d}{dx}f(x)  \right |_{x=x_0}  \right )x_0$$
Thế vào tìm được $m$
Sau đó chứng minh lại BĐT vừa tìm bằng phương pháp đạo hàm, từ đó ta có thể làm nhanh những bài dạng này
_______________________________________
Thủ thuật 8: Phương pháp phân tích thành nhân tử với 2 biến bằng CASIO
 
Lưu ý: Thủ thuật này chỉ áp dụng cho biểu thức 2 ẩn bậc không quá cao (giới hạn bậc 4) cho một ẩn ...
Ví dụ như: $x^3y^3+10x^2-20xy^3+1$ vẫn nằm trong phạm vi của phương pháp này ... Do đó ứng dụng thực tiễn của phương pháp này là khá lớn, thuận tiện cho việc giải Phương trình và Hệ phương trình.
Yêu cầu: Đọc qua Thủ Thuật 1 : CÁC THỦ THUẬT CASIO
Ý tưởng: Nhận xét sơ bộ một biểu thức cần phân tích, xem bậc cái nào cao nhất, cho nó bằng $1000$ rồi phân tích
_______________________________________

Ví Dụ 1: $A=x^2+xy-2y^2+3x+36y-130$
Bước làm: 
Bước 1: Nhìn thấy bậc của $x$ và $y$ đều bằng $2$ nên mình chọn cái nào cũng được
Bước 2: Cho $y=1000$, ta được $A=x^2+1003x-1964130$
Bước 3: Phân tích nhân tử nó: $A=(x+1990)(x-987)$
Bước 4: Áp dụng thủ thuật 1, ta được: $1990=2y-10$ và $-987=-y+13$
Bước 5: Thế vào ta được $A=(x+2y-10)(x-y+13)$
Dễ không nào ???

Ví Dụ 2: $B=6x^2y-13xy^2+2y^3-18x^2+10xy-3y^2+87x-14y+15$
Bước 1: Bậc của $x$ nhỏ hơn
Bước 2: Cho $y=1000$, ta được $B=5982\,{x}^{2}-12989913\,x+1996986015$
Bước 3: Phân tích nhân tử: $B=2991\, \left( 2\,x-333 \right)  \left( x-2005 \right) $
Bước 4: Có $2991=3y-9, 333=\frac{999}{3}=\frac{y-1}{3},2005=2y+5$
Bước 5: Ta được: $B=(3y-9)(2x-\frac{y-1}{3})(x-2y-5)=(y-3)(x-2y-5)(6x-y+1)$
OK?

Ví Dụ 3: $C={x}^{3}-3\,x{y}^{2}-2\,{y}^{3}-7\,{x}^{2}+10\,xy+17\,{y}^{2}+8\,x-40\,y+16$
Bước 1: Bậc như nhau
Bước 2: Cho $y=1000$, ta được $C={x}^{3}-7\,{x}^{2}-2989992\,x-1983039984$
Bước 3: Phân tích: $C=(x-1999)(x+996)^2$
Bước 4: Thế $1999=2y-1$ và $996=y-4$
Bước 5: $C=(x-2y+1)(x+y-4)^2$

Ví Dụ 4: $D=2\,{x}^{2}{y}^{2}+{x}^{3}+2\,{y}^{3}+4\,{x}^{2}+xy+6\,{y}^{2}+3\,x+4\,y+12$
Bước 1: Bậc như nhau
Bước 2: Cho $y=1000$ ta được $D={x}^{3}+2000004\,{x}^{2}+1003\,x+2006004012$
Bước 3: Phân tích: $D=\left( x+2000004 \right)  \left( {x}^{2}+1003 \right) $
Bước 4: Thế $2000004=2y^2+4$ và $1003=y+3$
Bước 5: $D=(x^2+y+3)(2y^2+x+4)$
 
Ví Dụ 5: $E={x}^{3}y+2\,{x}^{2}{y}^{2}+6\,{x}^{3}+11\,{x}^{2}y-x{y}^{2}-6\,{x}^{2}-7\,xy-{y}^{2}-6\,x-5\,y+6$
Bước 1: Bậc của $y$ nhỏ hơn
Bước 2: Cho $x=1000$ ta được $E=1998999\,{y}^{2}+1010992995\,y+5993994006$
Bước 3: Phân tích: $E=2997\, \left( 667\,y+333333 \right)  \left( y+6 \right)$
Bước 4: "Ảo hóa" nhân tử: $E=999(2001y+999999)(y+6)$
Bước 5: Thế $999=x-1,2001=2x+1,999999=x^2-1$
Bước 6: $E=(x-1)((2x+1)y+x^2-1)(y+6)=(x-1)(y+6)(x^2+2xy+y-1)$
 
Ví Dụ 6: $F=6\,{x}^{4}y+12\,{x}^{3}{y}^{2}+5\,{x}^{3}y-5\,{x}^{2}{y}^{2}+6\,x{y}^{3}+{x}^{3}+7\,{x}^{2}y+4\,x{y}^{2}-3\,{y}^{3}-2\,{x}^{2}-8\,xy+3\,{y}^{2}-2\,x+3\,y-3$
Bước 1: Bậc $y$ nhỏ hơn
Bước 2: Cho $x=1000$ ta được: $$F=5997\,{y}^{3}+11995004003\,{y}^{2}+6005006992003\,y+997997997$$
Bước 3: Phân tích $F= \left( 1999\,y+1001001 \right)  \left( 3\,{y}^{2}+5999000\,y+997 \right) $
Bước 4: Thế $1999=2x-1;1001001=x^2+x+1;5999000=6x^2-x,997=x-3$
Bước 5: Ta được $$F=((2x-1) y+x^2+x+1)(3y^2+(6x^2-x)y+x-3)\\=\left( {x}^{2}+2\,xy+x-y+1 \right)  \left( 6\,{x}^{2}y-xy+3\,{y}^{2}+x-3 \right)$$

Nhỡ pt nó như này thì làm sao vậy bạn:
$(x+1)\sqrt{x^{2}-2x+3}=x^2+1$
$\Leftrightarrow (\sqrt{x^2-2x+3}-2)(x-1-\sqrt{x^2-2x+3})=0$

Giờ mình bận lắm, đang xem Vietnam got talent, mai mình post nốt !

Ví dụ như cái phương trình này:

Có nghiệm $x=3$ nhưng khi nhập trên máy $fx570 ES PLUS$ thì vân $Can't solve$ Gặp vào trường hợp như này thì sao nhỉ?

Đâu có mà anh !!!
CASIO dùng phương pháp lặp Newton-Raphson nên nó cần một giá trị ban đầu $u_0=?$
Khi giải phương trình trên (SOLVE), máy có hiện "Solve for X" thì mình viết $2$ rồi ấn $=$ (Tức gán giá trị $u_0=2$)
Chứ nếu trước khi giải phương trình mà $X$ là một số nào đó quá to thì vòng lặp sẽ quá khó để ra kết quả !!!
____________
P/s: Anh trích dẫn dài quá, xóa vợi đi anh ...

@nthoangcute: Anh chưa thể kiểm lại lời giải của em được,nhưng mà hình như đáp số của em so với lời giải có khác nhau :| .Em xem thử lời giải sau nhé :

Bài 4: À, em nhầm một chút anh à:
Kết quả là $\frac{2}{15}\sqrt{27+12\sqrt{6}}$, em edit lại rồi
Kết quả của em với anh giống nhau
Bài 5: Kết quả cũng giống nhau luôn
_________________
Nguồn: Wolframalpha.
P/s: Không ngờ mấy cái biểu thức to đùng đoàng kia lại rút gọn được đẹp thế ...

Bài toán 4: Giải phương trình $\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{{x - 1}} = \sqrt[4]{{x + 1}}$.

Bài toán 5: Tìm nghiệm dương của phương trình $x + \sqrt {11 + \sqrt x } = 7$.

Mấy bài trên đó cũng khá dễ ...
Bài toán 4: Xét hàm số :
$$f(x)=\sqrt[4]{x} + \sqrt[4]{{x - 1}} - \sqrt[4]{{x + 1}}$$
$$f'(x)=\frac{1}{4}\,{x}^{-3/4}+\frac{1}{4}\, \left( x-1 \right) ^{-3/4}-\frac{1}{4}\, \left( 1+x
\right) ^{-3/4}$$
Dễ thấy rằng: $\frac{1}{4}\, \left( x-1 \right) ^{-3/4}-\frac{1}{4}\, \left( 1+x
\right) ^{-3/4}>0$ và $\frac{1}{4}\,{x}^{-3/4}>0$ nên $f'(x)>0$
Suy ra $f(x)=0$ có tối đa một nghiệm
Dễ thấy $f\left(\frac{2}{15}\sqrt{27+12\sqrt{6}} \right)=0$ nên $x=\frac{2}{15}\sqrt{27+12\sqrt{6}}$ là nghiệm duy nhất của phương trình
Bài toán 5: Phương trình tương đương với:
$$(a-3)(a^3+3a^2-13a-38)=0$$
với $a=\sqrt{11+\sqrt{x}}>3$
Khi đó ta cần giải phương trình bậc ba: $a^3+3a^2-13a-38=0$
Đặt $a=\frac{8}{\sqrt{3}} \cos t-1$
Phương trình bậc ba tương đương với :
$$\frac{128 \cos 3t}{3\sqrt{3}}-23=0$$
Do đó ta được nghiệm của phương trình bậc ba trên thỏa mãn $a \geq \sqrt{11}$ là:
$$a=\frac{8}{3}\,\sqrt {3}\cos \left( \frac{1}{3}\,\arccos \left( {\frac {69}{128}}\,
\sqrt {3} \right) \right) -1$$
Suy ra $$\sqrt{11+\sqrt{x}}=\frac{8}{3}\,\sqrt {3}\cos \left( \frac{1}{3}\,\arccos \left( {\frac {69}{128}}\,
\sqrt {3} \right) \right) -1$$
Tương đương với $$x=\left( \left( \frac{8}{3}\,\sqrt {3}\cos \left( \frac{1}{3}\,\arccos \left( {\frac {
69}{128}}\,\sqrt {3} \right) \right) -1 \right) ^{2}-11 \right) ^{2}$$
_______________
Mọi người thông cảm, làm hơi tắt ...
Mong có thêm nhiều bài mới làm luôn ...

Đăng 1 bài góp vui không biết lặp chưa
Bài 22
Cho $a,b,c\geq 0$
Tìm $\min$ của 
$P=[(a+b)^2+(b+c)^2+(c+a)^2].[\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(a-c)^2}]$

 

 

Đề nghị Việt không xài các phần mềm tính toán để mà "phang" ra kết quả nhé,ít nhất em cũng hãy trình bày hướng đi để có thể ra được biểu thức sai phân ở trên chứ ! 

 

Nhìn các lời giải của em cứ như "từ trên trời rơi xuống" vậy ! Những lời giải như trên,theo anh là hoàn toàn vô nghĩa vì người đọc chẳng có được chút kiến thức,ích lợi gì ngoài những biểu thức Đại Số "khủng" được tạo ra từ vi tính !

Em trình bày cách 2 rồi mà ...

Còn cách 1 là dùng wolframalpha ...

Em đang nghĩ thêm cách 3 dùng Abel

Bài toán 10: Tính $S=\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}(k+a)^{k-1}(n-k+b)^{n-k-1} \quad (a,b \in \mathbb{N^*})$.

 

$$S=\sum^n_{k=0} \binom{n}{k} (k+a)^{k-1} (n-k+b)^{n-k-1}\\=\sum^n_{k=0} (-1)^k\binom{n}{k} (-1)^k(k+a)^{k-1} (n-k+b)^{n-k-1}\\=\sum ^n_{k=0} (-1)^k(k+a)^{k-1} (n-k+b)^{n-k-1} \Delta \left [ (-1)^{k-1} \binom{n-1}{k-1} \right ]\\=-\sum^n_{k=0} (-1)^{k} \binom{n-1}{k} \Delta^{-1} \left [(-1)^k(k+a)^{k-1} (n-k+b)^{n-k-1}  \right ]\\=\sum^n_{k=0} (-1)^k \binom{n-2}{k} \Delta^{-2}\left [(-1)^k(k+a)^{k-1} (n-k+b)^{n-k-1}  \right ]\\= - \sum^n_{k=0} (-1)^k \binom{n-3}{k} \Delta^{-3}\left [(-1)^k(k+a)^{k-1} (n-k+b)^{n-k-1}  \right ]\\=...\\=(-1)^t \sum^n_{k=0} (-1)^k \binom{n-t}{k} \Delta^{-t}\left [(-1)^k(k+a)^{k-1} (n-k+b)^{n-k-1}  \right ]\\=...$$

 

Bài toán 25

Tính tổng:

$S=\sum_{k=0}^n\dfrac{(-1)^k\displaystyle {n\choose k}\pi^k}{[(n-k)\pi+k+1].[(n+1-k)\pi+k]}$

 

 

Bài toán 39: Cho $n \ge 3$.Chứng minh rằng :

\[\sum\limits_{k = 1}^n {{{\left( { - 1} \right)}^{k + 1}}{k^2}\left( {{k^2} - 1} \right)\binom{2n}{n - k}}  = 0\]

 

_______________________________________

Bài toán 29

Dãy các số điều hòa $H_m$ được định nghĩa như sau:

$\begin{cases}\displaystyle H_0=0\\ \displaystyle H_m=\sum_{k=1}^m \frac{1}{k}\end{cases}$

 

Chứng minh đẳng thức:

$\sum_{k=0}^n \dfrac{\displaystyle (-1)^k {n\choose k}H_k}{\displaystyle{m+k\choose k}}=\dfrac{m}{m+n}\left(H_{m-1}-H_{m+n-1}\right)$

 

 

 

 

Bài toán 27*: Hãy tính tổng $\sum_{k=0}^{n}\frac{(n+k)^2(2n+2k-1)!!}{(2n+2k+2)!!}$.

 

 

 

@Dark templar:Có thể các lời giải này của em sẽ cần cho ĐTTH vol 2,nhưng còn đối với topic này thì anh nghĩ phương châm của anh Thanh là "giải càng sơ cấp càng tốt". Em cố gắng xem xét còn lời giải thông thường nào không ?

@hxthanh: Đúng như Dark nói, phương châm càng đơn giản càng sơ cấp bao nhiêu thì càng ý nghĩa bấy nhiêu. Đó là mục tiêu chung của loạt bài tập này!

 

 

@nthoangcute: Hàm Gamma cho bài toán dễ nhìn hơn thôi, chứ em không biết nhiều về nó ...

Còn nếu muốn có một lời giải sơ cấp cho bài toán kia thì tương tự hàm Gamma ta được:
$$\frac{(n+k)^2(2n+2k-1)!!}{(2n+2k+2)!!}=\Delta \left [ \,{\frac { \left(  \left( n+k-2 \right) ^{2}-7 \right)  \left( 2\,n+2\,k-1 \right)!! }{3 \left( n+k \right) !\,{2}^{n+k}}} \right ]=\Delta \left [ \,{\frac { \left(  \left( n+k-2 \right) ^{2}-7 \right)  \left( 2\,n+2\,k \right)! }{3 \left( n+k \right) !\,{2}^{2n+2k}(n+k)!} } \right ]$$

 

Hơi khó nhìn ...

Đã "xử" tại đây.

**********

Bài toán 34: Rút gọn tổng $\sum_{k=0}^{n}\dfrac{2^{k}}{2^{2^{k}}+1}$.

 

 

Bài toán 34

 

 

mình có đề như sau
P(x)= x⁵ +ax⁴+bx³+cx²+dx+e
biết P(1)=1,P(2)=4,P(3)=9,P(4)=16,P(5)=25
tính P(6),P(7),P(8),P(9)

cách giải là khai triển ra
P(1)= 1 =>1+a+b+c+d+e=1
P(2)= 4 => 2⁵ +a2⁴ +b2³+c2²+d2+e=4
P(3),P(4), P(5) lần lượt như vậy.
nếu thế thì ở đây mình có được x rồi nên việc cần tìm là a,b,c,d,e. nếu tìm ra được thì khi xuống tính P(6),P(7),P(8),P(9) mình chỉ việc thế vào là tính ra ngay
ở đây mình không biết cách bấm máy thế nào đê ra a,b,c,d,e có thể chỉ mình chi tiết được k
thks nhiều
p/s : đag gấp bởi zị chỉ mình nhanh nhất có thể nhé

Bỏ rơi topic này rồi, mình lại đang bận học Hóa !
Cách 1: Dễ thấy $P(x)=x^5-15x^4+85x^3-224x^2+274x-120$ thỏa mãn đề bài
Cách 2: Đặt $P(x)=G(x)+x^2$
Suy ra $G(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)$ suy ra ...